Vzorec pro zkrácené násobení

Vzorec pro zkrácené násobení

Nejdůležitější zkrácené vzorce pro násobení.

Vzorce zkráceného násobení vám umožňují provádět výpočty mnohem rychleji.
Nejčastěji používané zkrácené vzorce pro násobení:

(A + b)2 = A2 + 2z + b2

(a - b)2 = A2 - 2z + b2

(A+b+C)2 = A2 + b2 + C2 + 2z + 2ac + 2před naším letopočtem

A2 - b2 = (A + b)(A - b)

(A + b)3 = A3 + 3A2b + 3z2 + b3

(A - b)3 = A3 - 3A2b + 3z2 - b3

A3 + b3 = (A + b)(A2 -z + b2)

A3 - b3 = (A - b)(A2 + z + b2)

 

Zkrácené vzorce pro násobení jsou užitečné pro násobení nebo rozšiřování algebraických výrazů. Usnadňují efektivní počítání. Těch vzorů je spousta. Uvádíme několik níže, které se používají nejčastěji.

Čtverec druhého součtu čísel

  • (A + b)2 = A2 + 2z + b2
    např: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961
  • nedochází rovnost: (A+b)2 = A2 + b2
    např 25 = (3+2)2 32 + 22 = 13
  • zdůvodnění vzorce účtem:
    (A + b)2 = (A + b) × (A + b) =
    aa + z + ba + bb = A2 + 2z + b2

Druhá mocnina rozdílu čísel

  • (A b)2 = A2 – 2z + b2
    např: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841
  • nedochází rovnost: (A-b)2 = A2b2
    např 1 = (3-2)2 32 – 22 = 5
  • odůvodnění vzorce:
    (A – b)2 = (A – b) × (A – b) = aa z ba + bb = A2 – 2z + b2

     

Čtverec ze součtu tří čísel

  • (A+b+C)2 = A2 + b2 + C2 + 2z + 2ac + 2před naším letopočtem
    např: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2× 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • nedochází rovnost: (a + b+C)2 = A2 + b2 + C2
    např 36 = (3+2+1)2 32 + 22 + 12 = 14
  • odůvodnění vzorce:
    (A + b + C)2 = (A + b + C) × (A + b + C) = aa + z + ac + ba + bb + před naším letopočtem + že + cb + cc = A2 + b2 + C2 + 2z + 2ac + 2před naším letopočtem

Součin součtu a rozdílu čísel = Rozdíl čtverců čísel

  • (A + b)×(Ab) = A2 b2
    např: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999
  • odůvodnění vzorce :
    (A + b) × (A – b) = aa z + ba bb = A2 b2

Krychle součtu čísel

  • (A + b)3 = A3 + 3A2b + 3z2 + b3
    např: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • nedochází rovnost: (A+b)3 = A3 + b3
    např 125 = (3+2)3 33 + 23 = 35
  • zdůvodnění vzorce účtem:
    (A + b)3 = (A + b) × (A + b) × (A + b)
    = (aa + z + ba + bb) × (A + b) = aaa + aab + aba + obr + bekot + kapitola + bba + bbb =
    = A3 + 3A2b + 3z2 + b3

Krychle číselného rozdílu

  • (A b)3 = A3 – 3A2b + 3z2 b3
    např: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
    = 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299

Součet kostek čísel

A3 + b3 = (A + b)×(A2 z + b2)

odůvodnění vzorce:

(A + b)×(A2 z + b2) = aa2 aab + z2 + ba2 kapitola + bb2= A3A2b + z2 + A2bz2 + b3 =
= A3 + b3

Rozdíl kostek čísel

A3 b3 = (Ab)×(A2 + z + b2)

odůvodnění vzorce:

(Ab)×(A2 + z + b2) = aa2 + aab + z2 ba2 kapitolabb2 = A3 + A2b + z2 A2bz2 b3 =
= A3b3

Rozdíl čtvrtých mocnin čísel

A4 b4 = (Ab)×(A3 + A2b + z2 + b3) = (A + b)×(A3A2b + z2b3)

 

Součet n-tyto mocniny čísel (pro n zvláštní!!!)

An + bn = (A + b) (An-1An-2b + An-3b2 – … + bn-1)

 

Rozdíl n-tyto mocniny čísel (pro n dokonce!!!)

Anbn = (A + b) (An-1An-2b + An-3b2 – … + bn-1)

 

Rozdíl n-tyto mocniny čísel (pro každého n přírodní)

Anbn = (A b) (An-1 + An-2b + An-3b2 + … + A2bn-3 + zn-2 + bn-1)