Zenův starodávný paradox v nové podobě

Přesně o půlnoci nebo v poledne jsou obě ručičky hodin více než hodinu 12. O hodinu později se hodinová ručička zastaví na čísle 1, a minutová ručička bude nad číslem 12. Když minutová ručka dosáhne čísla 1, hodinová ručička se posune vpřed o 5/12 minutové promoce; když minutová ručka dosáhla tohoto bodu (po 5 i 5/12 min. od začátku hodiny), hodinová ručička se zase posune dál - tímto způsobem můžete pokračovat navždy.

Takže vlastně minutová ručička, "V podstatě” a „teoreticky“ - nemělo by to předjíždět nebo dokonce dohnat hodinovou ručičku!

Jak vysvětlit tento paradox?

V této rase stop, podobný Achillovu závodu s želvou, celá věc je tohle, že postupné posuny minutové ruky dávají nekonečně klesající geometrickou řadu, a to

tmp23de-1První výraz tohoto pokroku je a = 5, iloraz q = 1/12

Od té doby, Jak víš, součet nekonečně klesající geometrické řady je dán vzorcem
tmp23de-2takže za hodinu 1 minut 5 i 5/11 stopy se tento den sejdou poprvé, počítáme od jihu nebo od severu.

Zde je ale ještě jedno malé potvrzení tohoto argumentu: Řekněme, že minutová ručička dohoní hodinovou ručku za x minut po hodině 1. Způsob, kterou hodinová ručička v této době projde, se zjevně rovná x / 12. Roh, kdo obíhá minutovou ručičku”, je o 5 minut větší než úhel, která projde „hodinou“. Proto

tmp23de-3