Zenos gamle paradoks i en ny form

Punktligt ved midnat eller middag er begge hænder på uret mere end en time 12. En time senere stopper timeviseren på nummeret 1, og minutviseren vil være over tallet 12. Når minutviseren når tallet 1, timeviseren bevæger sig fremad 5/12 minuteksamen; når minutviseren har nået dette punkt (efter 5 jeg 5/12 min. fra timens begyndelse), timeviseren bevæger sig længere igen - du kan fortsætte denne vej for evigt.

Så faktisk minutviseren, "I bund og grund” og "teoretisk" - det skal ikke overhale eller endda indhente timeviseren!

Hvordan man forklarer dette paradoks?

I dette løb af spor, svarende til Achilles 'race med skildpadden, det hele er dette, at successive skift af minutviseren giver en uendeligt faldende geometrisk serie, nemlig

tmp23de-1Det første udtryk for denne fremgang er a = 5, iloraz q = 1/12

Siden, Som du ved, summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk serie er givet ved formlen
tmp23de-2så på en time 1 minutter 5 jeg 5/11 sporene kommer sammen for første gang på denne dag, tæller fra syd eller fra nord.

Men her er endnu en lille bekræftelse af dette argument: Lad os sige, at minutviseren indhenter timeviseren x minutter efter timen 1. Vej, som timeviseren vil passere i løbet af denne tid, er naturligvis lig med x / 12. Hjørne, der vil cirkulere minutviseren”, er om 5 minutter større end vinklen, som vil passere "timen". Derfor

tmp23de-3