En smart deling af partiet

To brødre arvede fra deres far en stor firkant i form af en trekant, omgivet af træer. De besluttede at opdele det i lige store dele i en lige linje som denne, så det kortest mulige hegn kunne placeres ved den fælles grænse.

Landmålerens arbejde var ikke let, som de fremsatte en sådan anmodning om. Imidlertid begyndte han at huske forskellige geometriske mønstre og til sidst fandt han et sted, hvor det var nødvendigt at tegne grænsen. Lad os følge hans ræsonnement:

Af alle trekanter med en given base og en given vinkel ved toppunktet vil en ligebenet trekant have det største areal, fordi den geometriske placering af hjørnerne af sådanne trekanter vil være buen, der indeholder den givne vinkel, og det højeste punkt i buen er i centrum. Så det modsatte kan siges, at af alle trekanter med et givet område og en given vinkel ved toppunktet har den ligebenede trekant den mindste base. Til gengæld for alle ligebenede trekanter med et givet område, vil dette område have den mindste base, hvis vinkel ved toppunktet vil være den mindste.

Vi kender også fra elementær geometri, at områderne i to trekanter med en fælles vinkel er således for hinanden, ligesom produkterne på siderne, der udgør den fælles vinkel.

tmp6792-1På baggrund af ovenstående forudsætninger hørte ABC til i et trekantet plot (se tegningen) fra toppunkt A., hvis vinkel er den mindste, sæt til side langs begge sider segmenterne AM = AN lig med det forholdsmæssige gennemsnit mellem en af ​​siderne AB eller AC og halvdelen af ​​den anden side. MN-linjen vil være linjen for den grænse, du leder efter, fordi
Δ AMN : Δ ABC = (EN MAND) : (AC • AB),

det betyder

Δ AMN : Δ ABC = ½,

så trekanten AMN er halvdelen af ​​trekanten ABC.