Flere uropgaver

EN. Hvor mange gange i en 12 timer, vil minutviseren stå over timeviseren?

Tolv gange? Ingen, kun elleve! For første gang vil minutviseren indhente timeviseren på timen 1 minutter 5 jeg 5/11. For hver yderligere time skal minutviseren køre hele drejeknappen og 5 jeg 5/11 minutter. Det andet møde finder sted kl 2 minutter 10 jeg 10/11, den tredje er kl 3 16i minutter 4/11 og så videre, endelig den ellevte - på en time 11 minutter 59 11/11, det er nøjagtigt i timen 12.

B. Hvis væguret rammer VI-timen inden for seks sekunder, hvor meget tid vil det bruge til at slå den tolvte time?

Først er alle klar til at svare, at han ville bruge tolv sekunder til det - glemme, at der er fem hvile mellem første og sjette strejke, mens der er seks sådanne mellemrum mellem det sjette og tolvte slag. Så klokken skal ringe klokken tolv 13 jeg 1/5- sekunder. Vi antager, at klokkespillet ikke holder, men de er øjeblikkelige, er øjeblikket.

C. Jeg har - siger en af ​​matematikerne - et gammelt vægur, som kun rammer hele timen. Jeg er nødt til at afvikle det, desværre, daglige; Jeg gør det. efter klokken tolv. Begge urvægte sænkes ens i løbet af en dag, hver fr 312 kædeøje.
En dag efter at have trukket vægtene op på uret forlod jeg huset, og da jeg kom tilbage, bemærkede jeg det, at uret ringede så mange gange, forudsat at den ene vægt var højere end den anden vægt. Det fik mig til at undre mig, om nogen på baggrund af denne omstændighed alene kunne finde ud af det, hvad tid kom jeg tilbage. Er det en løselig opgave?

Ja. Vægten, der får uret til at gå ned, sænkes naturligvis med en time 312:24= 13 net. Og hvordan opfører den anden sinker sig?, der falder, når uret ringer?

I tolv timer slår uret timer:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12.

For hurtigt at beregne summen af ​​tolv på hinanden følgende naturlige tal startende med enhed, det skal være det sidste tal, så antallet 12, gang med det næste naturlige tal, det vil sige ved 13, og divider resultatet af multiplikationen med 2.

I vores tilfælde får vi det

tmp9a1a-1Så uret rammer inden for en halv dag 78 gange, og hele dagen 156 gange. Vægten, der får uret til at slå, sænkes for hvert slag af o 312 : 156 = 2 kædeøje.
Så siden uret slog x gange, da ejeren vendte tilbage, fra klokken tolv slog uret slag

tmp9a1a-2og i denne periode faldt vægten, der startede urets chiming med x(x + 1) kædeøje, mens vægten, der bevæger urene, faldt med x • 13 net.
I henhold til problemets betingelser var forskellen mellem numrene ovenfor kun x. Derfor ligningen
13 x - x (x + 1) = x

Antallet x er ikke nul. Ved at dividere alle vilkårene i vores ligning med x får vi en enklere ligning:

13-(x + l) = 1,

hvorfra vi finder x - 11.

Hjemkomsten var på en time 11 om aftenen.

D. To ure A og B slog samtidigt 19 gange. Hvordan man bestemmer klokkeslættet, som de pegede på, som du ved, at begyndelsen af ​​timen på ur A blev forsinket med ur B o 2 sekunder, og det ur A rammer hvert 3 sekunder, et ur B co 4 sekunder?

Formode, at det nte beat af ur A vil falde sammen med det nte beat af ur B for første gang. Indtil da har ur A været igennem
(n - 1) • 3 sekunder, og ur B chimrede igennem (n - 1) • 4 sekunder.

Vi får ligningen
(n - 1) • 4 - (n - 1) • 3 = 2 , hvorfra vi finder n = 3.

Så det tredje hit af A falder sammen med det tredje hit af B, og før det blev hørt 2 ur slår B i 2 et let forsinket ur A. Så hvis urene valgte klokken tre, det kunne høres sammen 5 slagtilfælde.

Over den næste 12 sekunder vil et ur slå 4 gange, og kun ur B 3 gange, mens over disse 12 vi hører sekunder 3 separat ur slår A i 2 separat ur slår B og 1 kumulativ slagtilfælde; den syvende strejke i ur A falder sammen med den sjette strejke i ur B.. Sammen i løbet 12 vi hører sekunder 3 + 2 +1 - 6 slagtilfælde, hvad med de foregående 5 slag giver 11 slagtilfælde.

Men vi er nødt til at komme derhen” gør 19 slagtilfælde. Yderligere 12 sekunder giver igen 3 separat ur slår A i 2 separat ur slår B og 1 kumulativ slagtilfælde; så vil uret A slå den ellevte gang, og ur B for niende gang. Sammen med de foregående 11 vi vil høre slag 17 slagtilfælde, og hvad så ellers 4 vi hører sekunder 2 forsinket ur slår B: tiende og ellevte. Så klokken var elleve.

Her er timingen for ure:

tmp9fd5-1