Die Formel für die abgekürzte Multiplikation

Die Formel für die abgekürzte Multiplikation

Die wichtigsten abgekürzten Multiplikationsformeln.

Mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation können Sie Berechnungen viel schneller durchführen.
Die am häufigsten verwendeten abgekürzten Multiplikationsformeln:

(ein + b)2 = ein2 + 2ab + b2

(a - b)2 = ein2 - - 2ab + b2

(ein+b+c)2 = ein2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

ein2 - - b2 = (ein + b)(ein - - b)

(ein + b)3 = ein3 + 3ein2b + 3ab2 + b3

(ein - - b)3 = ein3 - - 3ein2b + 3ab2 - - b3

ein3 + b3 = (ein + b)(ein2 - -ab + b2)

ein3 - - b3 = (ein - - b)(ein2 + ab + b2)

 

Die abgekürzten Multiplikationsformeln sind hilfreich, um algebraische Ausdrücke zu multiplizieren oder zu erweitern. Sie ermöglichen ein effizientes Zählen. Es gibt viele dieser Muster. Wir listen einige unten auf, die am häufigsten verwendet werden.

Kwadrat sumy liczb

  • (ein + b)2 = ein2 + 2ab + b2
    z.B: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961
  • tritt nicht auf równość: (ein+b)2 = ein2 + b2
    z.B 25 = (3+2)2 32 + 22 = 13
  • Begründung der Formel durch die Rechnung:
    (ein + b)2 = (ein + b) × (ein + b) =
    aa + ab + ba + bb = ein2 + 2ab + b2

Kwadrat różnicy liczb

  • (ein b)2 = ein2 – 2ab + b2
    z.B: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841
  • tritt nicht auf równość: (ein-b)2 = ein2b2
    z.B 1 = (3-2)2 32 – 22 = 5
  • Begründung der Formel:
    (ein – b)2 = (ein – b) × (ein – b) = aa ab ba + bb = ein2 – 2ab + b2

     

Ein Quadrat aus der Summe von drei Zahlen

  • (ein+b+c)2 = ein2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
    z.B: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • tritt nicht auf równość: (a + b+c)2 = ein2 + b2 + c2
    z.B 36 = (3+2+1)2 32 + 22 + 12 = 14
  • Begründung der Formel:
    (ein + b + c)2 = (ein + b + c) × (ein + b + c) = aa + ab + ac + ba + bb + bc + Das + cb + cc = ein2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Produkt aus Summe und Differenz der Zahlen = Differenz der Quadrate der Zahlen

  • (ein + b)×(einb) = ein2 b2
    z.B: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999
  • Begründung der Formel :
    (ein + b) × (ein – b) = aa ab + ba bb = ein2 b2

Ein Würfel aus der Summe der Zahlen

  • (ein + b)3 = ein3 + 3ein2b + 3ab2 + b3
    z.B: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • tritt nicht auf równość: (ein+b)3 = ein3 + b3
    z.B 125 = (3+2)3 33 + 23 = 35
  • Begründung der Formel durch die Rechnung:
    (ein + b)3 = (ein + b) × (ein + b) × (ein + b)
    = (aa + ab + ba + bb) × (ein + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + Kapitel + bba + bbb =
    = ein3 + 3ein2b + 3ab2 + b3

Würfel der Zahlendifferenz

  • (ein b)3 = ein3 – 3ein2b + 3ab2 b3
    z.B: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
    = 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299

Summe der Zahlenwürfel

ein3 + b3 = (ein + b)×(ein2 ab + b2)

Begründung der Formel:

(ein + b)×(ein2 ab + b2) = aa2 aab + ab2 + ba2 Kapitel + bb2= ein3ein2b + ab2 + ein2bab2 + b3 =
= ein3 + b3

Der Unterschied der Zahlenwürfel

ein3 b3 = (einb)×(ein2 + ab + b2)

Begründung der Formel:

(einb)×(ein2 + ab + b2) = aa2 + aab + ab2 ba2 Kapitelbb2 = ein3 + ein2b + ab2 ein2bab2 b3 =
= ein3b3

Unterschied der vierten Potenzen von Zahlen

ein4 b4 = (einb)×(ein3 + ein2b + ab2 + b3) = (ein + b)×(ein3ein2b + ab2b3)

 

Suma n-diese Kräfte der Zahlen (dla n nieparzystych!!!)

einn + bn = (ein + b) (einn-1einn-2b + einn-3b2 – … + bn-1)

 

Unterschied n-diese Kräfte der Zahlen (dla n parzystych!!!)

einnbn = (ein + b) (einn-1einn-2b + einn-3b2 – … + bn-1)

 

Unterschied n-diese Kräfte der Zahlen (dla wszystkich n naturalnych)

einnbn = (ein b) (einn-1 + einn-2b + einn-3b2 + … + ein2bn-3 + abn-2 + bn-1)