Magische Figuren werden in flache und räumliche unterteilt, denn es gibt Quadrate, Dreiecke, Rechtecke, Polygone und magische Kreise, Es gibt aber auch magische Würfel.

Quadrate teilen sich: je nach Fortschritt, in welche Zahlen gehen - für arithmetisch und geometrisch; abhängig von den Seitenskalen - ungerade (3, 5, 7, 9 Und so weiter), seltsamerweise–Sogar (6, 10, 14, 18 Und so weiter) und gerade-gerade (4, 8, 12, 16 Und so weiter); schließlich, abhängig von der Einstellung der Zahlen im Quadrat - zu magischen gewöhnlichen, magisch mit besonderen Eigenschaften, hypermagisch.

Das magische Quadrat bleibt magisch, wenn alle Zahlen, was es enthält, wir werden um ein und dieselbe Zahl vergrößern oder verkleinern. Es wird auch magisch bleiben, wenn wir alle seine Komponenten durch eine Konstante multiplizieren oder dividieren. Für ein klares Verständnis reicht es aus, es mit einem Beispiel zu präsentieren:

Auf dem ersten Feld befindet sich eine magische Summe, das heißt, die Summe der Zahlen der einzelnen Zeilen, Spalten oder Diagonalen, ist 15; im zweiten Quadrat addieren wir zu jeder Zahl po 17 und die magische Summe ist 15 + 3 • 17 = 66; und schließlich multiplizieren wir im dritten Quadrat alle Terme mit 2 und die magische Summe ist 2 • 66 = 132.

II. Wenn das Quadrat magisch für einen arithmetischen Fortschritt ist, Es wird magisch sein für denselben verteilten arithmetischen Fortschritt mit einer anderen Primzahl und einem anderen Unterschied. Ja, zum Beispiel. im ersten der gegebenen magischen Quadrate anstelle von Zahlen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sie können die Wörter des Fortschritts entsprechend anordnen:

91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131.

Aus all diesen Regeln kann ein äußerst wichtiger praktischer Tipp gezogen werden, Wenn Sie ein magisches Quadrat bilden, reicht es aus, es aus den einfachsten Zahlen an die erste Stelle zu setzen, also aus den Zahlen einer natürlichen Folge: 1, 2, 3, 4, 5, . .., denn dann durch Multiplikation, Teilung, Durch Erhöhen oder Verringern dieser Zahlen können Sie eine unendliche Anzahl von magischen Quadraten mit den unterschiedlichsten magischen Summen erzielen.

Eine weitere äußerst wichtige Eigenschaft von magischen Quadraten ist diese, dass wir aus zwei Quadraten das dritte erhalten können, indem wir die Zahlen summieren, die in den entsprechenden Feldern stehen:

Die magische Summe eines solchen Quadrats ist gleich der Summe der magischen Summen beider Komponenten: 81 = 15 + 66.

Das Quadrat wird seine Magie nicht verlieren, wenn wir seine Spalten und Zeilen symmetrisch zur Mitte des Quadrats neu anordnen. Zum Beispiel:

Im ersten dieser Quadrate haben wir die erste und vierte Spalte neu angeordnet; Das zweite Quadrat wurde erstellt, mit der Summe der Wörter in jeder Zeile und Spalte, aber die Summe auf den Diagonalen blieb nicht erhalten. Wenn wir nun die erste und vierte Zeile im zweiten Quadrat neu anordnen, dann bekommen wir das dritte Quadrat, schon vollkommen magisch.