Wzór skróconego mnożenia

Wzór skróconego mnożenia

Najważniejsze wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia pozwalają dużo szybciej wykonywać obliczenia.
Najczęściej stosowane wzory skróconego mnożenia:

(b)a+ 2ab b2

(a − b)a2  2ab + b2

(a+b+c)ab+ c+ 2ab + 2ac + 2bc

ab2 = (a + b)(a b)

(a + b)a+ 3a2b + 3abb3

(a b)a3 3a2+ 3ab2 b3

ab= (a + b)(a2 ab + b2)

a3 − b= (a − b)(aab + b2)

 

Wzory skróconego mnożenia są pomocne przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Ułatwiają sprawne liczenie. Wzorów tych jest bardzo dużo. Poniżej podajemy kilka, z których korzysta się najczęściej.

Kwadrat sumy liczb

  • (b)a+ 2ab b2
    na przykład: 31= (30+1)= 302+2×30+1 = 900+60+1 = 961
  • nie zachodzi równość: (a+b)2 = a2 + b2
    na przykład 25 = (3+2)2  32 + 2= 13
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (b)= (b) × (b) =
     aa ab ba bb a+ 2ab b2

Kwadrat różnicy liczb

  • (– b)a– 2ab + b2
    na przykład: 29= (30-1)= 302-2×30+1 = 900-60+1 = 841
  • nie zachodzi równość: (a-b)2 = a2 – b2
    na przykład 1 = (3-2)2  32 – 2= 5
  • uzasadnienie wzoru:
    (a – b)= (a – b) × (a – b) =  aa – ab – ba bb a– 2ab b2

     

Kwadrat sumy trzech liczb

  • (a+b+c)ab+ c+ 2ab + 2ac + 2bc
    na przykład: 111= (100+10+1)= 100+ 10+1 +2×100×10 + 2×100 + 2×10 =  10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • nie zachodzi równość: (a+b+c)2 = a2 + bc2
    na przykład 36 = (3+2+1)2  32 + 2+ 12 = 14
  • uzasadnienie wzoru:
    (a + c)= (a + b + c) × (a + c) =  aa ab ac ba bb + bc + ca + cb + cc abc+ 2ab + 2ac + 2bc

Iloczyn sumy i różnicy liczb = Różnica kwadratów liczb

  • (a + b)×(a – b) = a– b2
    na przykład: 101×99 = (100+1)×(100-1) = 100– 1 = 9999
  • uzasadnienie wzoru :
    (a + b) × (a – b) = aa – ab ba – bb a– b2

Sześcian sumy liczb

  • (a + b)a+ 3a2b + 3abb3
    na przykład: 101= (100+1)3 = 100+ 3×100+ 3×100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • nie zachodzi równość: (a+b)3 = a3 + b3
    na przykład 125 = (3+2)3  33 + 2= 35
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (b)= (b) × (b) × (b)  
    = (aa ab ba bb) × (b) = aaa aab aba abb + baa bab bba + bbb =
    a+ 3a2b + 3abb3

 Sześcian różnicy liczb

  • (– b)a– 3a2+ 3ab– b3
    na przykład: 993 = (100-1)3 = 100– 3×100+ 3×100 – 1 =
    = 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299

Suma sześcianów liczb

ab= (a + b)×(a– ab + b2)

uzasadnienie wzoru:

(a + b)×(a– ab + b2) = aa– aab + abba– bab + bb2a3 – a2b + aba2b – abb3 =
a3 + b3

Różnica sześcianów liczb

a– b= (a – b)×(aab + b2)

uzasadnienie wzoru:

(a – b)×(aab + b2) = aaaab + ab– ba– bab – bb2 = a3 + a2b + ab– a2b – ab– b3 =
a3 – b3

Różnica czwartych potęg liczb

a– b= (a – b)×(aa2b + ab2 + b3) = (a + b)×(a3 – a2b + ab2 – b3)

 

Suma n-tych potęg liczb (dla n nieparzystych!!!)

an + bn = (b) (an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1)

 

Różnica n-tych potęg liczb (dla n parzystych!!!)

an – bn = (b) (an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1)

 

Różnica n-tych potęg liczb (dla wszystkich n naturalnych)

an – bn = (– b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + a2bn-3 + abn-2 + bn-1)