La fórmula de la multiplicación abreviada
Las fórmulas de multiplicación abreviada le permiten realizar cálculos mucho más rápido.
Las fórmulas de multiplicación abreviada más utilizadas:
(a + B)2 = a2 + 2de + B2
(un - B)2 = a2 - 2de + B2
(a+B+C)2 = a2 + B2 + C2 + 2de + 2C.A + 2antes de Cristo
a2 - B2 = (a + B)(a - B)
(a + B)3 = a3 + 3a2B + 3de2 + B3
(a - B)3 = a3 - 3a2B + 3de2 - B3
a3 + B3 = (a + B)(a2 -de + B2)
a3 - B3 = (a - B)(a2 + de + B2)
Las fórmulas de multiplicación abreviadas son útiles para multiplicar o expandir expresiones algebraicas. Facilitan el conteo eficiente. Hay muchos de estos patrones. Enumeramos algunos a continuación, que se utilizan con más frecuencia.
El cuadrado de la suma de los números
-
(a + B)2 = a2 + 2de + B2
p.ej: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961 -
no se produce igualdad: (a+B)2 = a2 + B2
p.ej 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13 -
justificación de la fórmula por el proyecto de ley:
(a + B)2 = (a + B) × (a + B) = Automóvil club británico + de + licenciado en Letras + cama y desayuno = a2 + 2de + B2
El cuadrado de la diferencia de números
-
(a – B)2 = a2 – 2de + B2
p.ej: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841 -
no se produce igualdad: (a-B)2 = a2 – B2
p.ej 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5 -
justificación de la fórmula:
(a – B)2 = (a – B) × (a – B) = Automóvil club británico – de – licenciado en Letras + cama y desayuno = a2 – 2de + B2
Un cuadrado de la suma de tres números
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(a+B+C)2 = a2 + B2 + C2 + 2de + 2C.A + 2antes de Cristo
p.ej: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2× 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321 -
no se produce igualdad: (a + b+C)2 = a2 + B2 + C2
p.ej 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14 -
justificación de la fórmula:
(a + B + C)2 = (a + B + C) × (a + B + C) = Automóvil club británico + de + C.A + licenciado en Letras + cama y desayuno + antes de Cristo + que + cb + cc = a2 + B2 + C2 + 2de + 2C.A + 2antes de Cristo
Producto de la suma y la diferencia de números = Diferencia de cuadrados de números
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(a + B)×(a – B) = a2 – B2
p.ej: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999 -
justificación de la fórmula :
(a + B) × (a – B) = Automóvil club británico – de + licenciado en Letras – cama y desayuno = a2 – B2
Un cubo de la suma de números
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(a + B)3 = a3 + 3a2B + 3de2 + B3
p.ej: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 -
no se produce igualdad: (a+B)3 = a3 + B3
p.ej 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35 -
justificación de la fórmula por el proyecto de ley:
(a + B)3 = (a + B) × (a + B) × (a + B) = (Automóvil club británico + de + licenciado en Letras + cama y desayuno) × (a + B) = aaa + aab + aba + higo + balido + capítulo + bba + bebé =
= a3 + 3a2B + 3de2 + B3
Cubo de diferencia numérica
- (a – B)3 = a3 – 3a2B + 3de2 – B3
p.ej: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299
Suma de cubos de números
a3 + B3 = (a + B)×(a2 – de + B2)
justificación de la fórmula:
(a + B)×(a2 – de + B2) = Automóvil club británico2 – aab + de2 + licenciado en Letras2 – capítulo + cama y desayuno2= a3 – a2B + de2 + a2B – de2 + B3 =
= a3 + B3
La diferencia de los cubos de números.
a3 – B3 = (a – B)×(a2 + de + B2)
justificación de la fórmula:
(a – B)×(a2 + de + B2) = Automóvil club británico2 + aab + de2 – licenciado en Letras2 – capítulo – cama y desayuno2 = a3 + a2B + de2 – a2B – de2 – B3 =
= a3 – B3
Diferencia de cuartos poderes de números
a4 – B4 = (a – B)×(a3 + a2B + de2 + B3) = (a + B)×(a3 – a2B + de2 – B3)
Suma norte-estos poderes de los números (por norte impar!!!)
anorte + Bnorte = (a + B) (anorte-1 – anorte-2B + anorte-3B2 – … + Bnorte-1)
Diferencia norte-estos poderes de los números (por norte incluso!!!)
anorte – Bnorte = (a + B) (anorte-1 – anorte-2B + anorte-3B2 – … + Bnorte-1)
Diferencia norte-estos poderes de los números (para todo el mundo norte natural)
anorte – Bnorte = (a – B) (anorte-1 + anorte-2B + anorte-3B2 + … + a2Bnorte-3 + denorte-2 + Bnorte-1)