Lyhennetyn kertolasun kaava

Lyhennetyn kertolasun kaava

Tärkeimmät lyhennetyt kertolasut.

Lyhennetyn kertolasun kaavojen avulla voit suorittaa laskutoimituksia paljon nopeammin.
Yleisimmin käytetyt lyhennetyt kertolasut:

(a + b)2 = a2 + 2alkaen + b2

(a - b)2 = a2 - 2alkaen + b2

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2alkaen + 2ac + 2bc

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3alkaen2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3alkaen2 - b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 -alkaen + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + alkaen + b2)

 

Lyhennetyt kertolasukaavat ovat hyödyllisiä algebrallisten lausekkeiden kertomiseen tai laajentamiseen. Ne helpottavat tehokasta laskemista. Näitä malleja on paljon. Seuraavassa luetellaan muutama, joita käytetään useimmiten.

Kwadrat sumy liczb

  • (a + b)2 = a2 + 2alkaen + b2
    esimerkiksi: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961
  • ei tapahdu równość: (a+b)2 = a2 + b2
    esimerkiksi 25 = (3+2)2 32 + 22 = 13
  • kaavan perustelu laskulla:
    (a + b)2 = (a + b) × (a + b) =
    aa + alkaen + ba + bb = a2 + 2alkaen + b2

Kwadrat różnicy liczb

  • (a b)2 = a2 – 2alkaen + b2
    esimerkiksi: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841
  • ei tapahdu równość: (a-b)2 = a2b2
    esimerkiksi 1 = (3-2)2 32 – 22 = 5
  • kaavan perustelut:
    (a – b)2 = (a – b) × (a – b) = aa alkaen ba + bb = a2 – 2alkaen + b2

     

Neliö kolmen numeron summasta

  • (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2alkaen + 2ac + 2bc
    esimerkiksi: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • ei tapahdu równość: (a + b+c)2 = a2 + b2 + c2
    esimerkiksi 36 = (3+2+1)2 32 + 22 + 12 = 14
  • kaavan perustelut:
    (a + b + c)2 = (a + b + c) × (a + b + c) = aa + alkaen + ac + ba + bb + bc + että + cb + cc = a2 + b2 + c2 + 2alkaen + 2ac + 2bc

Lukujen summan ja eron tulo = Lukujen neliöiden ero

  • (a + b)×(ab) = a2 b2
    esimerkiksi: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999
  • kaavan perustelut :
    (a + b) × (a – b) = aa alkaen + ba bb = a2 b2

Numeroiden summan kuutio

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3alkaen2 + b3
    esimerkiksi: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • ei tapahdu równość: (a+b)3 = a3 + b3
    esimerkiksi 125 = (3+2)3 33 + 23 = 35
  • kaavan perustelu laskulla:
    (a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b)
    = (aa + alkaen + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + kuva + baa + luku + bba + bbb =
    = a3 + 3a2b + 3alkaen2 + b3

Lukueron kuutio

  • (a b)3 = a3 – 3a2b + 3alkaen2 b3
    esimerkiksi: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
    = 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299

Numeroiden kuutioiden summa

a3 + b3 = (a + b)×(a2 alkaen + b2)

kaavan perustelut:

(a + b)×(a2 alkaen + b2) = aa2 aab + alkaen2 + ba2 luku + bb2= a3a2b + alkaen2 + a2balkaen2 + b3 =
= a3 + b3

Numeroiden kuutioiden ero

a3 b3 = (ab)×(a2 + alkaen + b2)

kaavan perustelut:

(ab)×(a2 + alkaen + b2) = aa2 + aab + alkaen2 ba2 lukubb2 = a3 + a2b + alkaen2 a2balkaen2 b3 =
= a3b3

Lukujen neljännen voiman ero

a4 b4 = (ab)×(a3 + a2b + alkaen2 + b3) = (a + b)×(a3a2b + alkaen2b3)

 

Suma n-nämä numeroiden voimat (dla n nieparzystych!!!)

an + bn = (a + b) (an-1an-2b + an-3b2 – … + bn-1)

 

Ero n-nämä numeroiden voimat (dla n parzystych!!!)

anbn = (a + b) (an-1an-2b + an-3b2 – … + bn-1)

 

Ero n-nämä numeroiden voimat (dla wszystkich n naturalnych)

anbn = (a b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + a2bn-3 + alkaenn-2 + bn-1)