Ruudut, joissa on raja

Ruudut, joissa on raja. Ne ovat neliöitä, jotka pysyvät maagisina, vaikka vähennämme yhden tai useamman reunasta, jotka on tehty ruuduista, jotka kulkevat ulompia rivejä ja sarakkeita pitkin. Tässä esitettyä rakentamismenetelmää voidaan soveltaa kaikkiin neliöihin, ja se antaa suuren määrän muunnelmia.

Otetaan esimerkiksi kuudennen asteen maaginen neliö ja asetetaan tavoite, että neliöllä on yksi raja, se tarkoittaa, niin, että sen sisältämä neljäs riviruutu pysyy taikana rajan poistamisen jälkeen.

Me perustamme 36 ensimmäiset numerot seuraavasti:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Aiomme rakentaa neliön neljännen asteen kaikista kahdeksasta numerosta riville yksi ja kahdeksasta täydentävästä numerosta rivillä kaksi, esimerkiksi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

Saamme neliön, jolla on maaginen summa 74. Kuudennen rivin neliö, jonka aiomme rakentaa, sillä on maaginen summa, kuten jo tiedämme: 111. Tästä johtopäätös, jokainen sarake, jokaiselle riville ja diagonaalille meidän tulisi lisätä kaksi numeroa, które w sumie dają 37 = 111 - 74; mutta vain tämä numero 37 ne antavat edellä luetellun ensimmäisen ja toisen rivin numerot, kun laskemme ne yhteen pareittain. Joten otamme numerot, jotka ovat peräkkäin 9 i 28, 10 i 27 ja aseta ne neliön kulmiin (6 X 6) niin, että diagonaaleilla ne täydentävät toisiaan 37. Tiedämme nyt, että ensimmäisellä rivillä neljässä tyhjässä välissä tulisi olla numeroita, joka yhteensä antaa
111 - (9 + 10) = 92, ensimmäisessä sarakkeessa lisättyjen numeroiden summan on oltava 111 - (9 + 27) = 75.

Numeroista, jotka jäävät meille, nimittäin:

11 12 13 14 15 16 17 18

26 25 24 23 22 21 20 19

summalle 92 löydämme komponentteina esimerkiksi numeroita 26, 25, 23, 18. Laitetaan ne mihin tahansa järjestykseen ensimmäisellä rivillä, ja viimeisellä rivillä - niiden täydennysosa. Muiden numeroiden joukosta valitsemme lisäksi neljä komponenttia, jotka antavat summan 75, niin 16, 20, 24, 15 i umieszczamy je w pierwszej kolumnie, ich zaś dopełnienia — w ostatniej. Tämä antaa täydellisen kuudennen rivin maagisen neliön, jossa on reunus.
Tällaisen neliön rakentaminen on vielä helpompaa, kun emme sopeuta keskusaukiota 8 ensin ja 8 sarjan viimeiset numerot, mutta keskimmäiset numerot:

11, 12, 18 i 19, …, 26.

Rakentaa neliö kahdeksannesta rivistä, teemme täsmälleen saman: rakennamme neliötä 4 X 4 ja ympäröi se reunalla; ja saatuaan neliön 6X6, kehystämme sen uudelleen; sitten tulemme neliölle 8X8.

Samaa menetelmää voidaan käyttää parittomille neliöille. Jos haluaisimme esimerkiksi. rakentaa neliö 7 X 7 rajalla, sitten rakennamme 3X3-neliön eteenpäin, lisäämme siihen reunan, saamme neliön 5 X 5, ja lisäämällä toinen raja, saamme etsimämme 45 kentän neliön.