Emblème de l'exposition

tmpb385-1Une exposition a été conçue. La direction a annoncé un concours pour l'emblème de l'exposition.

Parmi, des projets soumis, il y avait deux idées sur des sujets assez similaires.
Il a proposé l'un de ces projets, que l'emblème de l'exposition serait une pyramide de cubes empilés: sur le grand cube avec l'arête a = 25 m un cube avec une arête o 20% plus petite, dessus un nouveau cube avec le bord de Fr. 20% plus petit que le bord du cube précédent, et ainsi de suite.
Le deuxième dessin a placé un cube avec le bord a = à la base de la pyramide 25 m, dessus était censé être un cube avec un demi-bord, puis, à leur tour, des cubes avec des bords 1/3 une, 1/4 a et ainsi de suite.

Laquelle de ces pyramides cubiques sera plus élevée??

Il s'avère, que la première tour aura 125 mètres de haut. En fait, vous devez calculer la somme des séries géométriques

25 + 25 • 4/5 + 25 • (4/5)² + 25 • (4/5)³ + . . .

Comme tu sais, cette somme est exprimée par la formule

tmpe870-2où a est le premier terme de la série, a q — jego iloraz. Dans ce cas, nous avons un - 25, q = 4/5, donc S = 125.

Pour calculer la hauteur de la deuxième tour, il faut trouver la somme de cette série:

tmpb385-3Une telle série s'appelle une série harmonique. Eh bien, c'est une série divergente, pour la somme de ses paroles prises en quantité suffisante, il peut dépasser n'importe quelle taille, nombre prédéterminé.

C'est facile à voir à partir d'un raisonnement quelque peu original. Les mots de cette série peuvent être combinés dans de tels groupes:

tmp6952-1nous trouvons, que chaque parenthèse de la première série contient un mot plus grand que la parenthèse correspondante de la deuxième série. Mais la deuxième rangée est divergente, par conséquent, la première ligne est également divergente.

Alors on voit, que la tour, selon cette conception vraiment impressionnante, devrait être relevée pour toujours, mais nous serions arrivés à cette hauteur en cours de route, à laquelle la force centrifuge due à la rotation de la Terre autour de l'axe serait supérieure à la force d'attraction de la Terre.