La formule de multiplication abrégée
Les formules de multiplication abrégée vous permettent d'effectuer des calculs beaucoup plus rapidement.
Les formules de multiplication abrégées les plus couramment utilisées:
(une + b)2 = une2 + 2de + b2
(un - b)2 = une2 - 2de + b2
(une+b+c)2 = une2 + b2 + c2 + 2de + 2courant alternatif + 2avant JC
une2 - b2 = (une + b)(une - b)
(une + b)3 = une3 + 3une2b + 3de2 + b3
(une - b)3 = une3 - 3une2b + 3de2 - b3
une3 + b3 = (une + b)(une2 -de + b2)
une3 - b3 = (une - b)(une2 + de + b2)
Les formules de multiplication abrégées sont utiles pour multiplier ou développer des expressions algébriques. Ils facilitent un comptage efficace. Il y a beaucoup de ces modèles. Nous en énumérons quelques-uns ci-dessous, qui sont utilisés le plus souvent.
Le carré de la somme des nombres
-
(une + b)2 = une2 + 2de + b2
par exemple: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961 -
ne se produit pas égalité: (une+b)2 = une2 + b2
par exemple 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13 -
justification de la formule par le projet de loi:
(une + b)2 = (une + b) × (une + b) = aa + de + ba + bb = une2 + 2de + b2
Le carré de la différence des nombres
-
(une – b)2 = une2 – 2de + b2
par exemple: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841 -
ne se produit pas égalité: (une-b)2 = une2 – b2
par exemple 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5 -
justification de la formule:
(une – b)2 = (une – b) × (une – b) = aa – de – ba + bb = une2 – 2de + b2
Un carré de la somme de trois nombres
-
(une+b+c)2 = une2 + b2 + c2 + 2de + 2courant alternatif + 2avant JC
par exemple: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321 -
ne se produit pas égalité: (a + b+c)2 = une2 + b2 + c2
par exemple 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14 -
justification de la formule:
(une + b + c)2 = (une + b + c) × (une + b + c) = aa + de + courant alternatif + ba + bb + avant JC + cette + cb + cc = une2 + b2 + c2 + 2de + 2courant alternatif + 2avant JC
Produit de la somme et de la différence des nombres = Différence des carrés des nombres
-
(une + b)×(une – b) = une2 – b2
par exemple: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999 -
justification de la formule :
(une + b) × (une – b) = aa – de + ba – bb = une2 – b2
Un cube de la somme des nombres
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(une + b)3 = une3 + 3une2b + 3de2 + b3
par exemple: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 -
ne se produit pas égalité: (une+b)3 = une3 + b3
par exemple 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35 -
justification de la formule par le projet de loi:
(une + b)3 = (une + b) × (une + b) × (une + b) = (aa + de + ba + bb) × (une + b) = aaa + aab + ABA + figure + bêlement + chapitre + bba + bébé =
= une3 + 3une2b + 3de2 + b3
Cube de différence de nombre
- (une – b)3 = une3 – 3une2b + 3de2 – b3
par exemple: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299
Somme de cubes de nombres
une3 + b3 = (une + b)×(une2 – de + b2)
justification de la formule:
(une + b)×(une2 – de + b2) = aa2 – aab + de2 + ba2 – chapitre + bb2= une3 – une2b + de2 + une2b – de2 + b3 =
= une3 + b3
La différence des cubes de nombres
une3 – b3 = (une – b)×(une2 + de + b2)
justification de la formule:
(une – b)×(une2 + de + b2) = aa2 + aab + de2 – ba2 – chapitre – bb2 = une3 + une2b + de2 – une2b – de2 – b3 =
= une3 – b3
Différence des quatrièmes puissances des nombres
une4 – b4 = (une – b)×(une3 + une2b + de2 + b3) = (une + b)×(une3 – une2b + de2 – b3)
Somme n-ces puissances de nombres (pour n impair!!!)
unen + bn = (une + b) (unen-1 – unen-2b + unen-3b2 – … + bn-1)
Différence n-ces puissances de nombres (pour n même!!!)
unen – bn = (une + b) (unen-1 – unen-2b + unen-3b2 – … + bn-1)
Différence n-ces puissances de nombres (pour tout le monde n Naturel)
unen – bn = (une – b) (unen-1 + unen-2b + unen-3b2 + … + une2bn-3 + den-2 + bn-1)