Carrés avec une bordure. Ce sont des carrés, qui restent magiques, bien que nous soustrayions une ou plusieurs des bordures constituées de carrés qui longent les lignes et colonnes extérieures. La méthode de construction donnée ici peut être appliquée à tous les carrés et donne un grand nombre de variations.
Prenons, par exemple, un carré magique du sixième ordre et fixez un objectif, que le carré a une bordure, ça veut dire, de sorte que le carré de la quatrième rangée qu'il contient reste magique après avoir supprimé la bordure.
Nous mettrons en place 36 premiers nombres comme suit:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19
Nous allons construire un carré de quatrième ordre parmi huit nombres quelconques sur la ligne un et huit nombres complémentaires sur la ligne deux, par exemple:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.
Nous obtiendrons un carré avec une somme magique 74. Un carré de la sixième rangée, que nous allions construire, il a une somme magique, comme on le sait déjà: 111. D'où la conclusion, que pour chaque colonne, à chaque ligne et à chaque diagonale il faut ajouter deux nombres, qui donnent au total 37 = 111 — 74; mais juste ce numéro 37 ils donnent les numéros des première et deuxième lignes énumérées ci-dessus, quand on les résume par paires. Alors on prend les nombres qui se succèdent 9 et 28, 10 et 27 et placez-les dans les coins du carré (6 X 6) oui, que sur les diagonales ils se complètent pour 37. Nous savons maintenant, que dans la première ligne, quatre espaces vides doivent contenir des nombres, qui au total donnera
111 — (9 + 10) = 92, dans la première colonne, la somme des nombres insérés doit être 111 — (9 + 27) = 75.
À partir de nombres, qui nous sont laissés, à savoir:
11 12 13 14 15 16 17 18
26 25 24 23 22 21 20 19
pour la somme 92 nous trouvons comme composants, par exemple, des nombres 26, 25, 23, 18. Mettons-les dans n'importe quel ordre dans la première rangée, et dans la dernière rangée - leur complément. Parmi les autres nombres, nous sélectionnons en outre quatre composantes qui donnent la somme 75, ainsi 16, 20, 24, 15 et les mettre dans la première colonne, et leur complément - dans le dernier. Cela donne un carré magique de sixième rangée avec une bordure.
Il est encore plus facile de construire un tel carré, quand on prend non pour composer la place centrale 8 d'abord et 8 les derniers numéros de la série, mais les nombres du milieu:
11, 12, 18 et 19, …, 26.
Pour construire un carré de la huitième rangée, nous faisons exactement la même chose: nous construisons un carré 4 X 4 et entourez-le d'une bordure; et ayant obtenu le carré 6X6, on l'encadre à nouveau; on arrive alors au carré 8X8.
La même méthode peut être utilisée pour les carrés impairs. Si nous souhaitons, par exemple,. construire un carré 7 X 7 avec bordure, puis nous construisons un carré 3X3 en avant, on y ajoute une bordure, nous obtenons un carré 5 X 5, et en ajoutant une deuxième bordure, nous obtiendrons le carré de quarante-cinq champs que nous recherchons.
