La formule de multiplication abrégée
Les formules de multiplication abrégée vous permettent d'effectuer des calculs beaucoup plus rapidement.
Les formules de multiplication abrégées les plus couramment utilisées:
(un + b)2 = un2 + 2Ab + b2
(un - b)2 = un2 − 2Ab + b2
(un+b+c)2 = un2 + b2 + c2 + 2Ab + 2courant alternatif + 2avant JC
un2 − b2 = (un + b)(un − b)
(un + b)3 = un3 + 3un2b + 3Ab2 + b3
(un − b)3 = un3 − 3un2b + 3Ab2 − b3
un3 + b3 = (un + b)(un2 −Ab + b2)
un3 − b3 = (un − b)(un2 + Ab + b2)
Les formules de multiplication abrégées sont utiles pour multiplier ou développer des expressions algébriques. Ils facilitent un comptage efficace. Il y a beaucoup de ces modèles. Nous en énumérons quelques-uns ci-dessous, qui sont utilisés le plus souvent.
Kwadrat sumy liczb
-
(un + b)2 = un2 + 2Ab + b2
par exemple: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961 -
ne se produit pas równość: (un+b)2 = un2 + b2
par exemple 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13 -
justification de la formule par le projet de loi:
(un + b)2 = (un + b) × (un + b) = Aa + Ab + Ba + Bb = un2 + 2Ab + b2
Kwadrat różnicy liczb
-
(un – b)2 = un2 – 2Ab + b2
par exemple: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841 -
ne se produit pas równość: (un-b)2 = un2 – b2
par exemple 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5 -
justification de la formule:
(un – b)2 = (un – b) × (un – b) = Aa – Ab – Ba + Bb = un2 – 2Ab + b2
Un carré de la somme de trois nombres
-
(un+b+c)2 = un2 + b2 + c2 + 2Ab + 2courant alternatif + 2avant JC
par exemple: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321 -
ne se produit pas równość: (A+B+c)2 = un2 + b2 + c2
par exemple 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14 -
justification de la formule:
(un + b + c)2 = (un + b + c) × (un + b + c) = Aa + Ab + courant alternatif + Ba + Bb + avant JC + CA + Cb + cc = un2 + b2 + c2 + 2Ab + 2courant alternatif + 2avant JC
Produit de la somme et de la différence des nombres = Différence des carrés des nombres
-
(un + b)×(un – b) = un2 – b2
par exemple: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999 -
justification de la formule :
(un + b) × (un – b) = Aa – Ab + Ba – Bb = un2 – b2
Un cube de la somme des nombres
-
(un + b)3 = un3 + 3un2b + 3Ab2 + b3
par exemple: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 -
ne se produit pas równość: (un+b)3 = un3 + b3
par exemple 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35 -
justification de la formule par le projet de loi:
(un + b)3 = (un + b) × (un + b) × (un + b) = (Aa + Ab + Ba + Bb) × (un + b) = Aaa + aab + ABA + figure + bêlement + Bab + Bba + bbb =
= un3 + 3un2b + 3Ab2 + b3
Cube de différence de nombre
- (un – b)3 = un3 – 3un2b + 3Ab2 – b3
par exemple: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299
Somme de cubes de nombres
un3 + b3 = (un + b)×(un2 – Ab + b2)
justification de la formule:
(un + b)×(un2 – Ab + b2) = Aa2 – aab + Ab2 + Ba2 – Bab + Bb2= un3 – un2b + Ab2 + un2b – Ab2 + b3 =
= un3 + b3
La différence des cubes de nombres
un3 – b3 = (un – b)×(un2 + Ab + b2)
justification de la formule:
(un – b)×(un2 + Ab + b2) = Aa2 + aab + Ab2 – Ba2 – Bab – Bb2 = un3 + un2b + Ab2 – un2b – Ab2 – b3 =
= un3 – b3
Différence des quatrièmes puissances des nombres
un4 – b4 = (un – b)×(un3 + un2b + Ab2 + b3) = (un + b)×(un3 – un2b + Ab2 – b3)
Suma n-ces puissances de nombres (dla n nieparzystych!!!)
unn + bn = (un + b) (unn-1 – unn-2b + unn-3b2 – … + bn-1)
Différence n-ces puissances de nombres (dla n parzystych!!!)
unn – bn = (un + b) (unn-1 – unn-2b + unn-3b2 – … + bn-1)
Différence n-ces puissances de nombres (dla wszystkich n naturalnych)
unn – bn = (un – b) (unn-1 + unn-2b + unn-3b2 + … + un2bn-3 + Abn-2 + bn-1)