Emblema della mostra

tmpb385-1È stata progettata una mostra. La direzione ha indetto un concorso per l'emblema della mostra.

Tra, dei progetti presentati, c'erano due idee su argomenti abbastanza simili.
Ha proposto uno di questi progetti, che l'emblema della mostra sarebbe una piramide di cubi impilati: sul grande cubo con il bordo a = 25 m un cubo con un bordo o 20% più piccoli, su di esso un nuovo cubo con il bordo di p. 20% più piccolo del bordo del cubo precedente e così via.
Il secondo disegno ha posizionato un cubo con il bordo a = alla base della piramide 25 m, su di esso avrebbe dovuto esserci un cubo con ½ bordo, poi, a loro volta, cubetti con i bordi 1/3 un, 1/4 a e così via.

Quale di queste piramidi cubiche sarà più alta??

Si scopre, che avrà la prima torre 125 metri di altezza. Infatti, è necessario calcolare la somma delle serie geometriche

25 + 25 • 4/5 + 25 • (4/5)² + 25 • (4/5)³ + . . .

Come sapete, tale somma è espressa dalla formula

tmpe870-2dove a è il primo termine della serie, a q — jego iloraz. In questo caso, abbiamo un - 25, q = 4/5, quindi S = 125.

Per calcolare l'altezza della seconda torre, è necessario trovare la somma di questa serie:

tmpb385-3Una tale serie è chiamata serie armonica. Bene, questa è una serie divergente, per la somma delle sue parole prese in quantità sufficiente, può superare qualsiasi dimensione, numero predeterminato.

Questo è facile da vedere da un ragionamento un po 'originale. Le parole di questa serie possono essere combinate in tali gruppi:

tmp6952-1noi troviamo, che ogni parentesi nella prima serie contiene una parola maggiore della corrispondente parentesi nella seconda serie. Ma la seconda riga è divergente, quindi, anche la prima riga è divergente.

Quindi vediamo, che la torre, secondo questo progetto davvero impressionante, avrebbe dovuto essere tirata su per sempre, ma saremmo arrivati ​​a quell'altezza lungo la strada, in cui la forza centrifuga dovuta alla rotazione della Terra attorno all'asse sarebbe maggiore della forza di attrazione della Terra.