La formula per la moltiplicazione abbreviata
Le formule di moltiplicazione abbreviata consentono di eseguire calcoli molto più velocemente.
Le formule di moltiplicazione abbreviate più comunemente usate:
(un + b)2 = un2 + 2a partire dal + b2
(a - b)2 = un2 - 2a partire dal + b2
(un+b+c)2 = un2 + b2 + c2 + 2a partire dal + 2corrente alternata + 2avanti Cristo
un2 - b2 = (un + b)(un - b)
(un + b)3 = un3 + 3un2b + 3a partire dal2 + b3
(un - b)3 = un3 - 3un2b + 3a partire dal2 - b3
un3 + b3 = (un + b)(un2 -a partire dal + b2)
un3 - b3 = (un - b)(un2 + a partire dal + b2)
Le formule di moltiplicazione abbreviate sono utili per moltiplicare o espandere espressioni algebriche. Facilitano un conteggio efficiente. Ci sono molti di questi schemi. Ne elenchiamo alcuni di seguito, che vengono utilizzati più spesso.
Il quadrato della somma dei numeri
-
(un + b)2 = un2 + 2a partire dal + b2
per esempio: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961 -
non si verifica uguaglianza: (un+b)2 = un2 + b2
per esempio 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13 -
giustificazione della formula in bolletta:
(un + b)2 = (un + b) × (un + b) = aa + a partire dal + ba + bb = un2 + 2a partire dal + b2
Il quadrato della differenza di numeri
-
(un – b)2 = un2 – 2a partire dal + b2
per esempio: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841 -
non si verifica uguaglianza: (un-b)2 = un2 – b2
per esempio 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5 -
giustificazione della formula:
(un – b)2 = (un – b) × (un – b) = aa – a partire dal – ba + bb = un2 – 2a partire dal + b2
Un quadrato della somma di tre numeri
-
(un+b+c)2 = un2 + b2 + c2 + 2a partire dal + 2corrente alternata + 2avanti Cristo
per esempio: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2× 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321 -
non si verifica uguaglianza: (a + b+c)2 = un2 + b2 + c2
per esempio 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14 -
giustificazione della formula:
(un + b + c)2 = (un + b + c) × (un + b + c) = aa + a partire dal + corrente alternata + ba + bb + avanti Cristo + quello + cb + cc = un2 + b2 + c2 + 2a partire dal + 2corrente alternata + 2avanti Cristo
Prodotto della somma e differenza dei numeri = Differenza dei quadrati dei numeri
-
(un + b)×(un – b) = un2 – b2
per esempio: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999 -
giustificazione della formula :
(un + b) × (un – b) = aa – a partire dal + ba – bb = un2 – b2
Un cubo della somma dei numeri
-
(un + b)3 = un3 + 3un2b + 3a partire dal2 + b3
per esempio: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 -
non si verifica uguaglianza: (un+b)3 = un3 + b3
per esempio 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35 -
giustificazione della formula in bolletta:
(un + b)3 = (un + b) × (un + b) × (un + b) = (aa + a partire dal + ba + bb) × (un + b) = aaa + aab + aba + Fig + baa + capitolo + bba + bbb =
= un3 + 3un2b + 3a partire dal2 + b3
Cubo di differenza numerica
- (un – b)3 = un3 – 3un2b + 3a partire dal2 – b3
per esempio: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299
Somma di cubi di numeri
un3 + b3 = (un + b)×(un2 – a partire dal + b2)
giustificazione della formula:
(un + b)×(un2 – a partire dal + b2) = aa2 – aab + a partire dal2 + ba2 – capitolo + bb2= un3 – un2b + a partire dal2 + un2b – a partire dal2 + b3 =
= un3 + b3
La differenza dei cubi di numeri
un3 – b3 = (un – b)×(un2 + a partire dal + b2)
giustificazione della formula:
(un – b)×(un2 + a partire dal + b2) = aa2 + aab + a partire dal2 – ba2 – capitolo – bb2 = un3 + un2b + a partire dal2 – un2b – a partire dal2 – b3 =
= un3 – b3
Differenza delle quarte potenze dei numeri
un4 – b4 = (un – b)×(un3 + un2b + a partire dal2 + b3) = (un + b)×(un3 – un2b + a partire dal2 – b3)
Somma n-questi poteri dei numeri (per n dispari!!!)
unn + bn = (un + b) (unn-1 – unn-2b + unn-3b2 – … + bn-1)
Differenza n-questi poteri dei numeri (per n anche!!!)
unn – bn = (un + b) (unn-1 – unn-2b + unn-3b2 – … + bn-1)
Differenza n-questi poteri dei numeri (per tutti n naturale)
unn – bn = (un – b) (unn-1 + unn-2b + unn-3b2 + … + un2bn-3 + a partire daln-2 + bn-1)