Piazze con un bordo. Sono quadrati, che rimangono magiche, sebbene sottraiamo uno o più bordi costituiti da quadrati che corrono lungo le righe e le colonne esterne. Il metodo di costruzione qui fornito può essere applicato a tutti i quadrati e offre un gran numero di variazioni.

Prendi, ad esempio, un quadrato magico del sesto ordine e fissa un obiettivo, che la piazza ha un bordo, significa, in modo che il quadrato della quarta riga in esso contenuto rimanga magico dopo aver rimosso il bordo.

Ci metteremo in piedi 36 primi numeri come segue:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Costruiremo un quadrato di quarto ordine su otto numeri qualsiasi sulla riga uno e otto numeri complementari sulla riga due, per esempio:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

Otterremo un quadrato con una somma magica 74. Un quadrato della sesta fila, che stavamo per costruire, ha una somma magica, come già sappiamo: 111. Da qui la conclusione, quello per ogni colonna, ad ogni riga e ad ogni diagonale dovremmo aggiungere due numeri, che in totale danno 37 = 111 — 74; ma solo questo numero 37 danno i numeri della prima e della seconda riga sopra elencati, quando li sommiamo a coppie. Quindi prendiamo i numeri che stanno uno dopo l'altro 9 e 28, 10 e 27 e posizionali negli angoli del quadrato (6 X 6) Sì, che sulle diagonali si completano a vicenda 37. Lo sappiamo adesso, che nella prima riga, quattro spazi vuoti dovrebbero contenere numeri, che in totale darà
111 — (9 + 10) = 92, nella prima colonna dovrebbe essere la somma dei numeri inseriti 111 — (9 + 27) = 75.

Dai numeri, che sono lasciati a noi, vale a dire:

11 12 13 14 15 16 17 18

26 25 24 23 22 21 20 19

per la somma 92 troviamo come componenti, ad esempio, i numeri 26, 25, 23, 18. Mettiamoli in qualsiasi ordine nella prima riga, e nell'ultima riga - il loro complemento. Tra il resto dei numeri, selezioniamo ulteriormente quattro componenti che danno la somma 75, Così 16, 20, 24, 15 e mettili nella prima colonna, e il loro complemento - nell'ultimo. Questo dà un quadrato magico completo della sesta fila con un bordo.
È ancora più facile costruire un quadrato del genere, quando prendiamo no per comporre la piazza centrale 8 prima e 8 gli ultimi numeri della serie, ma i numeri centrali:

11, 12, 18 e 19, …, 26.

Per costruire un quadrato dell'ottava fila, facciamo esattamente lo stesso: stiamo costruendo una piazza 4 X 4 e circondalo con un bordo; e ottenuto il quadrato 6X6 lo incorniciamo nuovamente; arriviamo quindi alla piazza 8X8.

Lo stesso metodo può essere utilizzato per i quadrati dispari. Se volessimo, ad esempio,. costruire una piazza 7 X 7 con bordo, quindi costruiamo un quadrato 3X3 in avanti, aggiungiamo un bordo ad esso, otteniamo un quadrato 5 X 5, e aggiungendo un secondo bordo, otterremo il quadrato di quarantacinque campi che stiamo cercando.