matematica

La formula per la moltiplicazione abbreviata

La formula per la moltiplicazione abbreviata

Le più importanti formule di moltiplicazione abbreviate.

Le formule di moltiplicazione abbreviata consentono di eseguire calcoli molto più velocemente.
Le formule di moltiplicazione abbreviate più comunemente usate:

(un + B)2 = un2 + 2Ab + B2

(a - B)2 = un2 − 2Ab + B2

(un+B+C)2 = un2 + B2 + C2 + 2Ab + 2Corrente alternata + 2avanti Cristo

un2 − B2 = (un + B)(un − B)

(un + B)3 = un3 + 3un2B + 3Ab2 + B3

(un − B)3 = un3 − 3un2B + 3Ab2 − B3

un3 + B3 = (un + B)(un2 −Ab + B2)

un3 − B3 = (un − B)(un2 + Ab + B2)

 

Le formule di moltiplicazione abbreviate sono utili per moltiplicare o espandere espressioni algebriche. Facilitano un conteggio efficiente. Ci sono molti di questi schemi. Ne elenchiamo alcuni di seguito, che vengono utilizzati più spesso.

Il quadrato della somma dei numeri

  • (un + B)2 = un2 + 2Ab + B2
    per esempio: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961
  • non si verifica uguaglianza: (un+B)2 = un2 + B2
    per esempio 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13
  • giustificazione della formula in bolletta:
    (un + B)2 = (un + B) × (un + B) =     Aa + Ab + Ba + Bb = un2 + 2Ab + B2

Il quadrato della differenza dei numeri

  • (un – B)2 = un2 – 2Ab + B2
    per esempio: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841
  • non si verifica uguaglianza: (un-B)2 = un2 – B2
    per esempio 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5
  • giustificazione della formula:
    (un – B)2 = (un – B) × (un – B) = Aa – Ab – Ba + Bb = un2 – 2Ab + B2

     

Un quadrato della somma di tre numeri

  • (un+B+C)2 = un2 + B2 + C2 + 2Ab + 2Corrente alternata + 2avanti Cristo
    per esempio: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2× 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • non si verifica uguaglianza: (A+B+C)2 = un2 + B2 + C2
    per esempio 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14
  • giustificazione della formula:
    (un + B + C)2 = (un + B + C) × (un + B + C) = Aa + Ab + Corrente alternata + Ba + Bb + avanti Cristo + ca + Cb + Cc = un2 + B2 + C2 + 2Ab + 2Corrente alternata + 2avanti Cristo

Prodotto della somma e differenza dei numeri = Differenza dei quadrati dei numeri

  • (un + B)×(un – B) = un2 – B2
    per esempio: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999
  • giustificazione della formula :
    (un + B) × (un – B) = Aa – Ab + Ba – Bb = un2 – B2

Un cubo della somma dei numeri

  • (un + B)3 = un3 + 3un2B + 3Ab2 + B3
    per esempio: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • non si verifica uguaglianza: (un+B)3 = un3 + B3
    per esempio 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35
  • giustificazione della formula in bolletta:
    (un + B)3 = (un + B) × (un + B) × (un + B)     = (Aa + Ab + Ba + Bb) × (un + B) = Aaa + AAB + Aba + Fig + Belare + Bab + Bba + Bbb =
    = un3 + 3un2B + 3Ab2 + B3

Cubo di differenza numerica

  • (un – B)3 = un3 – 3un2B + 3Ab2 – B3
    per esempio: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
    = 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299

Somma di cubi di numeri

un3 + B3 = (un + B)×(un2 – Ab + B2)

giustificazione della formula:

(un + B)×(un2 – Ab + B2) = Aa2 – AAB + Ab2 + Ba2 – Bab + Bb2= un3 – un2B + Ab2 + un2B – Ab2 + B3 =
= un3 + B3

La differenza dei cubi di numeri

un3 – B3 = (un – B)×(un2 + Ab + B2)

giustificazione della formula:

(un – B)×(un2 + Ab + B2) = Aa2 + AAB + Ab2 – Ba2 – Bab – Bb2 = un3 + un2B + Ab2 – un2B – Ab2 – B3 =
= un3 – B3

Differenza delle quarte potenze dei numeri

un4 – B4 = (un – B)×(un3 + un2B + Ab2 + B3) = (un + B)×(un3 – un2B + Ab2 – B3)

 

Aggiunta n-questi poteri dei numeri (Per n strano!!!)

unn + Bn = (un + B) (unn-1 – unn-2B + unn-3B2 – … + Bn-1)

 

Differenza n-questi poteri dei numeri (Per n Anche!!!)

unn – Bn = (un + B) (unn-1 – unn-2B + unn-3B2 – … + Bn-1)

 

Differenza n-questi poteri dei numeri (per tutti n naturale)

unn – Bn = (un – B) (unn-1 + unn-2B + unn-3B2 + … + un2Bn-3 + Abn-2 + Bn-1)