Zeno's oude paradox in een nieuwe vorm

Stipt om middernacht of middag zijn beide wijzers van de klok meer dan een uur 12. Een uur later stopt de uurwijzer op het nummer 1, en de minutenwijzer zal boven het nummer staan 12. Wanneer de minutenwijzer het nummer bereikt 1, de uurwijzer gaat vooruit 5/12 minuut afstuderen; wanneer de minutenwijzer dit punt heeft bereikt (na 5 ik 5/12 min. vanaf het begin van het uur), de uurwijzer zal weer verder gaan - u kunt op deze manier voor altijd doorgaan.

Dus eigenlijk de minutenwijzer, "Eigenlijk” en "theoretisch" - het mag de uurwijzer niet inhalen of zelfs maar inhalen!

Hoe deze paradox te verklaren?

In deze race van aanwijzingen, vergelijkbaar met Achilles 'race met de schildpad, het hele ding is dit, dat opeenvolgende verschuivingen van de minutenwijzer een oneindig afnemende geometrische reeks opleveren, namelijk

tmp23de-1De eerste uitdrukking van deze vooruitgang is a = 5, iloraz q = 1/12

Sinds, Zoals u weet, de som van een oneindig afnemende geometrische reeks wordt gegeven door de formule
tmp23de-2dus op een uur 1 minuten 5 ik 5/11 de aanwijzingen zullen op deze dag voor het eerst samenkomen, gerekend vanuit het zuiden of vanuit het noorden.

Maar hier is nog een kleine bevestiging van dit argument: Laten we zeggen, dat de minutenwijzer de uurwijzer in x minuten na het uur zal inhalen 1. Manier, die de uurwijzer gedurende deze tijd zal passeren, is duidelijk gelijk aan x / 12. Hoek, wie de minutenwijzer zal omcirkelen”, gaat over 5 minuten groter dan de hoek, wat het ‘uur’ zal verstrijken. Vandaar

tmp23de-3