De formule voor verkorte vermenigvuldiging

De formule voor verkorte vermenigvuldiging

De belangrijkste verkorte vermenigvuldigingsformules.

Met de formules van verkorte vermenigvuldiging kunt u veel sneller berekeningen uitvoeren.
De meest gebruikte verkorte vermenigvuldigingsformules:

(een + b)2 een2 + 2van + b2

(een - b)2 een2 2van + b2

(een+b+c)2 een2 + b2 + c2 + 2van + 2ac + 2bc

een2 b2 ​ (een + b)(een b)

(een + b)3 een3 + 3een2b + 3van2 + b3

(een b)3 een3 3een2b + 3van2 b3

een3 + b3 ​ (een + b)(een2 van + b2)

een3 b3 ​ (eenb)(een2 + van + b2)

 

De verkorte vermenigvuldigingsformules zijn handig voor het vermenigvuldigen of uitbreiden van algebraïsche uitdrukkingen. Ze vergemakkelijken een efficiënte telling. Er zijn veel van deze patronen. We zetten er een paar hieronder op een rij, die het vaakst worden gebruikt.

Het kwadraat van de som van de getallen

  • (een + b)2 een2 + 2van + b2
    bijv: 312 ​ (30+1)2 ​ 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 ​ 961
  • komt niet voor gelijkheid: (een+b)2een2 + b2
    bijv 25 ​ (3+2)2 32 + 22 ​ 13
  • rechtvaardiging van de formule door het wetsvoorstel:
    (een + b)2 ​ (een + b) ​ (een + b)
    aa + van + ba + bb een2 + 2van + b2

Het kwadraat van het verschil in getallen

  • (een b)2 een2 – 2van + b2
    bijv: 292 ​ (30-1)2 ​ 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 ​ 841
  • komt niet voor gelijkheid: (een-b)2een2b2
    bijv 1 ​ (3-2)2 32 – 22 ​ 5
  • rechtvaardiging van de formule:
    (een – b)2 ​ (een – b) ​ (een – b) aa van ba + bb een2 – 2van + b2

     

Een kwadraat van de som van drie getallen

  • (een+b+c)2 een2 + b2 + c2 + 2van + 2ac + 2bc
    bijv: 1112 ​ (100+10+1)2 ​ 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2× 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 ​ 12321
  • komt niet voor gelijkheid: (a + b+c)2een2 + b2 + c2
    bijv 36 ​ (3+2+1)2 32 + 22 + 12 ​ 14
  • rechtvaardiging van de formule:
    (een + b + c)2 ​ (een + b + c) ​ (een + b + c) aa + van + ac + ba + bb + bc + dat + cb + cc een2 + b2 + c2 + 2van + 2ac + 2bc

Product van de som en het verschil in getallen = verschil in kwadraten van getallen

  • (een + b)​(eenb) ​ een2 b2
    bijv: 101× 99 = (100+1)​(100-1) ​ 1002 – 1 ​ 9999
  • rechtvaardiging van de formule :
    (een + b) ​ (een – b) aa van + ba bb een2 b2

Een kubus van de som van getallen

  • (een + b)3 een3 + 3een2b + 3van2 + b3
    bijv: 1013 ​ (100+1)3 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 ​
    ​ 1000000 + 30000 + 300 + 1 ​ 1030301
  • komt niet voor gelijkheid: (een+b)3een3 + b3
    bijv 125 ​ (3+2)3 33 + 23 ​ 35
  • rechtvaardiging van de formule door het wetsvoorstel:
    (een + b)3 ​ (een + b) ​ (een + b) ​ (een + b)
    ​ (aa + van + ba + bb) ​ (een + b) ​ aaa + aab + aba + fig + baa + hoofdstuk + bba + bbb
    een3 + 3een2b + 3van2 + b3

Kubus van nummerverschil

  • (een b)3 een3 – 3een2b + 3van2 b3
    bijv: 993 ​ (100-1)3 ​ 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 ​
    ​ 1000000 – 30000 + 300 – 1 ​ 970299

Som van blokjes getallen

een3 + b3 ​ (een + b)​(een2 van + b2)

rechtvaardiging van de formule:

(een + b)​(een2 van + b2) ​ aa2 aab + van2 + ba2 hoofdstuk + bb2een3een2b + van2 + een2bvan2 + b3
een3 + b3

Het verschil tussen de kubussen met getallen

een3 b3 ​ (eenb)​(een2 + van + b2)

rechtvaardiging van de formule:

(eenb)​(een2 + van + b2) ​ aa2 + aab + van2 ba2 hoofdstukbb2een3 + een2b + van2 een2bvan2 b3
een3b3

Verschil van vierde machten van getallen

een4 b4 ​ (eenb)​(een3 + een2b + van2 + b3) ​ (een + b)​(een3een2b + van2b3)

 

Som n-deze krachten van cijfers (voor n vreemd!!!)

eenn + bn ​ (een + b) (eenn-1eenn-2b + eenn-3b2 – … + bn-1)

 

Verschil n-deze krachten van cijfers (voor n zelfs!!!)

eennbn ​ (een + b) (eenn-1eenn-2b + eenn-3b2 – … + bn-1)

 

Verschil n-deze krachten van cijfers (voor iedereen n natuurlijk)

eennbn ​ (een b) (eenn-1 + eenn-2b + eenn-3b2 + … + een2bn-3 + vann-2 + bn-1)