De formule voor verkorte vermenigvuldiging
Met de formules van verkorte vermenigvuldiging kunt u veel sneller berekeningen uitvoeren.
De meest gebruikte verkorte vermenigvuldigingsformules:
(een + b)2 een2 + 2van + b2
(een - b)2 een2 2van + b2
(een+b+c)2 een2 + b2 + c2 + 2van + 2ac + 2bc
een2 b2 (een + b)(een b)
(een + b)3 een3 + 3een2b + 3van2 + b3
(een b)3 een3 3een2b + 3van2 b3
een3 + b3 (een + b)(een2 van + b2)
een3 b3 (een b)(een2 + van + b2)
De verkorte vermenigvuldigingsformules zijn handig voor het vermenigvuldigen of uitbreiden van algebraïsche uitdrukkingen. Ze vergemakkelijken een efficiënte telling. Er zijn veel van deze patronen. We zetten er een paar hieronder op een rij, die het vaakst worden gebruikt.
Het kwadraat van de som van de getallen
-
(een + b)2 een2 + 2van + b2
bijv: 312 (30+1)2 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 961 -
komt niet voor gelijkheid: (een+b)2 een2 + b2
bijv 25 (3+2)2 32 + 22 13 -
rechtvaardiging van de formule door het wetsvoorstel:
(een + b)2 (een + b) (een + b) aa + van + ba + bb een2 + 2van + b2
Het kwadraat van het verschil in getallen
-
(een – b)2 een2 – 2van + b2
bijv: 292 (30-1)2 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 841 -
komt niet voor gelijkheid: (een-b)2 een2 – b2
bijv 1 (3-2)2 32 – 22 5 -
rechtvaardiging van de formule:
(een – b)2 (een – b) (een – b) aa – van – ba + bb een2 – 2van + b2
Een kwadraat van de som van drie getallen
-
(een+b+c)2 een2 + b2 + c2 + 2van + 2ac + 2bc
bijv: 1112 (100+10+1)2 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2× 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 12321 -
komt niet voor gelijkheid: (a + b+c)2 een2 + b2 + c2
bijv 36 (3+2+1)2 32 + 22 + 12 14 -
rechtvaardiging van de formule:
(een + b + c)2 (een + b + c) (een + b + c) aa + van + ac + ba + bb + bc + dat + cb + cc een2 + b2 + c2 + 2van + 2ac + 2bc
Product van de som en het verschil in getallen = verschil in kwadraten van getallen
-
(een + b)(een – b) een2 – b2
bijv: 101× 99 = (100+1)(100-1) 1002 – 1 9999 -
rechtvaardiging van de formule :
(een + b) (een – b) aa – van + ba – bb een2 – b2
Een kubus van de som van getallen
-
(een + b)3 een3 + 3een2b + 3van2 + b3
bijv: 1013 (100+1)3 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1
1000000 + 30000 + 300 + 1 1030301 -
komt niet voor gelijkheid: (een+b)3 een3 + b3
bijv 125 (3+2)3 33 + 23 35 -
rechtvaardiging van de formule door het wetsvoorstel:
(een + b)3 (een + b) (een + b) (een + b) (aa + van + ba + bb) (een + b) aaa + aab + aba + fig + baa + hoofdstuk + bba + bbb
een3 + 3een2b + 3van2 + b3
Kubus van nummerverschil
- (een – b)3 een3 – 3een2b + 3van2 – b3
bijv: 993 (100-1)3 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1
1000000 – 30000 + 300 – 1 970299
Som van blokjes getallen
een3 + b3 (een + b)(een2 – van + b2)
rechtvaardiging van de formule:
(een + b)(een2 – van + b2) aa2 – aab + van2 + ba2 – hoofdstuk + bb2 een3 – een2b + van2 + een2b – van2 + b3
een3 + b3
Het verschil tussen de kubussen met getallen
een3 – b3 (een – b)(een2 + van + b2)
rechtvaardiging van de formule:
(een – b)(een2 + van + b2) aa2 + aab + van2 – ba2 – hoofdstuk – bb2 een3 + een2b + van2 – een2b – van2 – b3
een3 – b3
Verschil van vierde machten van getallen
een4 – b4 (een – b)(een3 + een2b + van2 + b3) (een + b)(een3 – een2b + van2 – b3)
Som n-deze krachten van cijfers (voor n vreemd!!!)
eenn + bn (een + b) (eenn-1 – eenn-2b + eenn-3b2 – … + bn-1)
Verschil n-deze krachten van cijfers (voor n zelfs!!!)
eenn – bn (een + b) (eenn-1 – eenn-2b + eenn-3b2 – … + bn-1)
Verschil n-deze krachten van cijfers (voor iedereen n natuurlijk)
eenn – bn (een – b) (eenn-1 + eenn-2b + eenn-3b2 + … + een2bn-3 + vann-2 + bn-1)