Magische figuren zijn onderverdeeld in plat en ruimtelijk, want er zijn vierkanten, driehoeken, rechthoeken, polygonen en magische cirkels, maar er zijn ook magische kubussen.

Vierkanten verdelen: afhankelijk van de voortgang, waarin getallen gaan - voor rekenkundig en meetkundig; afhankelijk van de zijschalen - oneven (3, 5, 7, 9 enzovoort), oneven–Zelfs (6, 10, 14, 18 enzovoort) en zelfs (4, 8, 12, 16 enzovoort); ten slotte, afhankelijk van de instelling van de getallen in het vierkant - tot gewoon magie, magisch met bijzondere eigenschappen, hypermagisch.

Het magische vierkant blijft magisch, als alle nummers, die het bevat, we vergroten of verkleinen met een en hetzelfde aantal. Het blijft ook magisch, wanneer we al zijn componenten vermenigvuldigen of delen door een constante. Voor een duidelijk begrip is het voldoende om het met één voorbeeld te presenteren:

Er is een magische som in het eerste vierkant, dat wil zeggen, de som van de nummers van de afzonderlijke rijen, kolommen of diagonalen, is 15; in het tweede vierkant voegen we aan elk getal po toe 17 en de magische som is 15 + 3 • 17 = 66; en tenslotte vermenigvuldigen we in het derde kwadraat alle termen met 2 en de magische som is 2 • 66 = 132.

II. Als het vierkant magisch is voor wat rekenkundige vooruitgang, het zal magisch zijn voor dezelfde verdeelde rekenkundige voortgang met een ander priemgetal en een ander verschil. Ja, bijvoorbeeld. in de eerste van de gegeven magische vierkanten in plaats van getallen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 je kunt de voortgangswoorden dienovereenkomstig rangschikken:

91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131.

Uit al deze regels kan een uiterst belangrijke praktische tip worden getrokken, dat bij het vormen van een magisch vierkant het voldoende is om het eerst te zetten uit de eenvoudigste getallen, dus uit de nummers van een natuurlijke reeks: 1, 2, 3, 4, 5, . .., omdat dan door vermenigvuldiging, afdeling, Door deze getallen te verhogen of te verlagen, kun je een oneindig aantal magische vierkanten bereiken met de meest uiteenlopende magische sommen.

Een andere uiterst belangrijke eigenschap van magische vierkanten is deze, dat we van twee vierkanten de derde kunnen krijgen door de getallen die in de corresponderende velden staan ​​bij elkaar op te tellen:

De magische som van zo'n vierkant is gelijk aan de som van de magische sommen van beide componenten: 81 = 15 + 66.

Het vierkant zal zijn magie niet verliezen, als we de kolommen en rijen symmetrisch ten opzichte van het midden van het vierkant herschikken. Bijvoorbeeld:

In het eerste van deze vierkanten hebben we de eerste en vierde kolom opnieuw gerangschikt; het tweede vierkant is gemaakt, met de som van de woorden in elke rij en kolom, maar de som op de diagonalen bleef niet behouden. Als we nu de eerste en vierde regel in het tweede vierkant herschikken, dan krijgen we het derde vierkant, al perfect magisch.