Tentoonstelling embleem

tmpb385-1Er werd een tentoonstelling ontworpen. De directie heeft een wedstrijd aangekondigd voor het embleem van de tentoonstelling.

Tussen, van de ingediende projecten waren er twee ideeën over vrijwel gelijkaardige onderwerpen.
Hij stelde een van deze projecten voor, dat het embleem van de tentoonstelling een piramide van gestapelde kubussen zou zijn: op de grote kubus met de rand a = 25 m een ​​kubus met een rand o 20% kleiner, daarop een nieuwe kubus met de rand van Fr. 20% kleiner dan de rand van de vorige kubus, enzovoort.
Het tweede ontwerp plaatste een kubus met de rand a = in de basis van de piramide 25 m, erop moest een kubus zijn met ½ rand, dan op hun beurt blokjes met randen 1/3 een, 1/4 een enzovoort.

Welke van deze kubuspiramides wordt hoger??

Het blijkt, die de eerste toren zal hebben 125 meters hoog. In feite, je moet de som van de geometrische reeksen berekenen

25 + 25 ​ 4/5 + 25 ​ (4/5)² + 25 ​ (4/5)³ + . . .

Zoals u weet, zo'n som wordt uitgedrukt door de formule

tmpe870-2waarbij a de eerste term van de reeks is, a q — jego iloraz. In dit geval hebben we een - 25, q = 4/5, dus S = 125.

Om de hoogte van de tweede toren te berekenen, moet de som van deze reeks worden gevonden:

tmpb385-3Zo'n serie wordt een harmonische serie genoemd. Nou, dit is een afwijkende serie, voor de som van zijn woorden genomen in voldoende hoeveelheid, het kan elke maat overschrijden, vooraf bepaald aantal.

Dit is gemakkelijk te zien vanuit een enigszins originele redenering. De woorden van deze serie kunnen in dergelijke groepen worden gecombineerd:

tmp6952-1we vinden, dat elk haakje in de eerste reeks een woord bevat dat groter is dan het overeenkomstige haakje in de tweede reeks. Maar de tweede rij loopt uiteen, daarom is de eerste rij ook divergerend.

Dus we zien, dat de toren, volgens dit werkelijk indrukwekkende ontwerp, voor altijd zou moeten worden opgetrokken, maar we zouden onderweg die hoogte hebben bereikt, waarbij de middelpuntvliedende kracht als gevolg van de rotatie van de aarde om de as groter zou zijn dan de aantrekkingskracht van de aarde.