Vierkanten met een rand

Vierkanten met een rand. Het zijn vierkanten, die magisch blijven, hoewel we een of meer van de randen van vierkanten die langs de buitenste rijen en kolommen lopen, aftrekken. De hier gegeven constructiemethode is toepasbaar op alle vierkanten en geeft een groot aantal variaties.

Neem bijvoorbeeld een magisch vierkant van de zesde orde en stel een doelwit in, dat het vierkant één rand heeft, het betekent, zodat het vierkant van de vierde rij erin magisch blijft na het verwijderen van de rand.

We zullen opzetten 36 eerste cijfers als volgt:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

We gaan een vierkant van de vierde orde bouwen uit acht getallen op regel één en acht complementaire getallen op regel twee, bijv:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ik 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

We krijgen een vierkant met een magische som 74. Een vierkant van de zesde rij, die we gingen bouwen, het heeft een magische som, zoals we al weten: 111. Vandaar de conclusie, dat voor elke kolom, aan elke rij en aan elke diagonaal moeten we twee getallen optellen, die in totaal geven 37 ​ 111 ​ 74; maar alleen dit nummer 37 ze geven de nummers van de eerste en tweede regel hierboven vermeld, als we ze in paren optellen. Dus we nemen de nummers die achter elkaar staan 9 ik 28, 10 ik 27 en plaats ze in de hoeken van het vierkant (6 x 6) zo, dat ze elkaar op de diagonalen aanvullen 37. We weten het nu, dat in de eerste rij vier lege spaties getallen moeten bevatten, die in totaal zal geven
111 ​ (9 + 10) ​ 92, in de eerste kolom moet de som van de ingevoegde getallen zijn 111 ​ (9 + 27) ​ 75.

Van cijfers, die aan ons worden overgelaten, namelijk:

11 12 13 14 15 16 17 18

26 25 24 23 22 21 20 19

voor de som 92 we vinden als componenten bijvoorbeeld getallen 26, 25, 23, 18. Laten we ze in willekeurige volgorde op de eerste rij zetten, en in de laatste rij - hun complement. Onder de rest van de cijfers selecteren we verder vier componenten die de som geven 75, zo 16, 20, 24, 15 en zet ze in de eerste kolom, en hun complement, in de laatste. Dit geeft een magisch vierkant van de zesde rij met een rand.
Het is nog gemakkelijker om zo'n vierkant te bouwen, wanneer we nee nemen om het centrale vierkant samen te stellen 8 eerste en 8 de laatste nummers van de serie, maar de middelste cijfers:

11, 12, 18 ik 19, …, 26.

Om een ​​vierkant van de achtste rij te bouwen, wij doen precies hetzelfde: we bouwen een plein 4 x 4 en omringen het met een rand; en nadat we de vierkante 6X6 hebben verkregen, kaderen we hem opnieuw in; we komen dan bij het vierkant 8X8.

Dezelfde methode kan worden gebruikt voor oneven vierkanten. Als we bijvoorbeeld willen. bouw een vierkant 7 x 7 met rand, dan bouwen we een vierkant van 3x3 naar voren, we voegen er een rand aan toe, we krijgen een vierkant 5 x 5, en door een tweede rand toe te voegen, krijgen we het vijfenveertig veldenvierkant waarnaar we op zoek zijn.