Zenos eldgamle paradoks i en ny form

Punktlig ved midnatt eller middag er begge hendene på klokken mer enn en time 12. En time senere stopper timesviseren på nummeret 1, og minuttviseren vil være over tallet 12. Når minuttviseren når tallet 1, timesviseren vil gå fremover 5/12 minutt uteksaminering; når minuttviseren har nådd dette punktet (etter 5 Jeg 5/12 min. fra timens begynnelse), timesviseren vil bevege seg lenger igjen - du kan fortsette denne veien for alltid.

Så faktisk minuttviseren, "I utgangspunktet” og "teoretisk" - det skal ikke gå forbi eller til og med innhente timesviseren!

Hvordan forklare dette paradokset?

I dette løpet av ledetråder, lik Achilles løp med skilpadden, det hele er dette, at påfølgende skift av minuttviseren gir en uendelig avtagende geometrisk serie, nemlig

tmp23de-1Det første uttrykket for denne fremgangen er a = 5, iloraz q = 1/12

Siden, Som du vet, summen av en uendelig synkende geometrisk serie er gitt av formelen
tmp23de-2så på en time 1 minutter 5 Jeg 5/11 ledetrådene kommer sammen for første gang denne dagen, teller fra sør eller fra nord.

Men her er nok en liten bekreftelse på dette argumentet: La oss si, at minuttviseren vil ta igjen timeviseren i x minutter etter timen 1. Vei, som timeviseren vil passere i løpet av denne tiden, er åpenbart lik x / 12. Hjørne, som vil sirkle minuttviseren”, er om 5 minutter større enn vinkelen, som vil passere "timen". Derfor

tmp23de-3