Štvorce s okrajom

Štvorce s okrajom. Sú to štvorce, ktoré zostávajú magické, aj keď odrátame jedno alebo viac ohraničení zo štvorcov, ktoré prechádzajú pozdĺž vonkajších riadkov a stĺpcov. Tu uvedený spôsob konštrukcie možno použiť na všetky štvorce a poskytuje veľké množstvo variácií.

Vezmime si napríklad čarovný štvorec šiesteho rádu a stanovte si cieľ, že štvorec má jednu hranicu, to znamená, aby štvorec štvrtého radu v ňom zostal po odstránení okraja čarovný.

Nastavíme 36 prvé čísla takto:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Budeme stavať štvorec štvrtého rádu z ľubovoľných ôsmich čísel na riadku jedna a ôsmich doplnkových čísel na riadku dva, napr:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

Získame štvorec s magickou sumou 74. Štvorec šiesteho radu, ktorú sme sa chystali postaviť, má magickú sumu, ako už vieme: 111. Z toho vyplýva záver, že pre každý stĺpec, do každého riadku a do každej uhlopriečky by sme mali pridať dve čísla, które w sumie dają 37 = 111 - 74; ale práve toto číslo 37 dávajú čísla prvého a druhého riadku uvedené vyššie, keď ich zhrnieme do dvojíc. Berieme teda čísla, ktoré stoja po sebe 9 i 28, 10 i 27 a umiestnite ich do rohov štvorca (6 X 6) tak, že na uhlopriečkach sa navzájom dopĺňajú 37. Teraz už vieme, že v prvom riadku by štyri prázdne medzery mali obsahovať čísla, ktoré celkovo dá
111 - (9 + 10) = 92, v prvom stĺpci by mal byť súčet vložených čísel 111 - (9 + 27) = 75.

Z čísel, ktoré nám ostávajú, menovite:

11 12 13 14 15 16 17 18

26 25 24 23 22 21 20 19

pre sumu 92 nájdeme ako komponenty napríklad čísla 26, 25, 23, 18. V prvom rade ich dáme do ľubovoľného poradia, a v poslednom rade - ich doplnok. Medzi ostatnými číslami ďalej vyberieme štyri komponenty, ktoré dávajú súčet 75, tak 16, 20, 24, 15 i umieszczamy je w pierwszej kolumnie, ich zaś dopełnienia — w ostatniej. Takto získate šiesty riadok magického štvorca s okrajom.
Je ešte jednoduchšie postaviť také námestie, keď vezmeme nie, aby sme vytvorili centrálne námestie 8 prvý a 8 posledné čísla série, ale stredné čísla:

11, 12, 18 i 19, …, 26.

Postaviť štvorec ôsmeho radu, robíme presne to isté: staviame námestie 4 X 4 a obklopte ju okrajom; a po získaní štvorca 6X6 ho znova zarámujeme; potom prichádzame na námestie 8X8.

Rovnaká metóda môže byť použitá pre nepárne štvorce. Ak by sme chceli napr.. postaviť námestie 7 X 7 s hranicou, potom postavíme štvorec 3x3 dopredu, pridáme k tomu orámovanie, dostaneme štvorec 5 X 5, a pridaním druhej hranice získame štyridsaťpäťpoľný štvorec, ktorý hľadáme.