Vzorec pre skrátené násobenie
Vzorce skráteného násobenia vám umožňujú vykonávať výpočty oveľa rýchlejšie.
Najčastejšie používané skrátené vzorce pre násobenie:
(a + b)2 = a2 + 2od + b2
(a - b)2 = a2 - 2od + b2
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2od + 2ac + 2pred n. l
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3od2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3od2 - b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 -od + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + od + b2)
Skrátené vzorce na násobenie sú užitočné na násobenie alebo rozširovanie algebraických výrazov. Uľahčujú efektívne počítanie. Tých vzorov je veľa. Uvádzame niektoré z nich nižšie, ktoré sa používajú najčastejšie.
Kwadrat sumy liczb
-
(a + b)2 = a2 + 2od + b2
napr: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961 -
nedochádza równość: (a+b)2 = a2 + b2
napr 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13 -
zdôvodnenie vzorca účtenkou:
(a + b)2 = (a + b) × (a + b) = aa + od + ba + bb = a2 + 2od + b2
Kwadrat różnicy liczb
-
(a – b)2 = a2 – 2od + b2
napr: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841 -
nedochádza równość: (a-b)2 = a2 – b2
napr 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5 -
odôvodnenie vzorca:
(a – b)2 = (a – b) × (a – b) = aa – od – ba + bb = a2 – 2od + b2
Druhá mocnina súčtu troch čísel
-
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2od + 2ac + 2pred n. l
napr: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321 -
nedochádza równość: (a + b+c)2 = a2 + b2 + c2
napr 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14 -
odôvodnenie vzorca:
(a + b + c)2 = (a + b + c) × (a + b + c) = aa + od + ac + ba + bb + pred n. l + že + cb + cc = a2 + b2 + c2 + 2od + 2ac + 2pred n. l
Súčet súčtu a rozdielu čísel = Rozdiel druhých mocnín čísel
-
(a + b)×(a – b) = a2 – b2
napr: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999 -
odôvodnenie vzorca :
(a + b) × (a – b) = aa – od + ba – bb = a2 – b2
Kocka súčtu čísel
-
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3od2 + b3
napr: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 -
nedochádza równość: (a+b)3 = a3 + b3
napr 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35 -
zdôvodnenie vzorca účtenkou:
(a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b) = (aa + od + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + obr + baa + kapitola + bba + bbb =
= a3 + 3a2b + 3od2 + b3
Kocka rozdielu čísel
- (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3od2 – b3
napr: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299
Súčet kociek čísel
a3 + b3 = (a + b)×(a2 – od + b2)
odôvodnenie vzorca:
(a + b)×(a2 – od + b2) = aa2 – aab + od2 + ba2 – kapitola + bb2= a3 – a2b + od2 + a2b – od2 + b3 =
= a3 + b3
Rozdiel kociek čísel
a3 – b3 = (a – b)×(a2 + od + b2)
odôvodnenie vzorca:
(a – b)×(a2 + od + b2) = aa2 + aab + od2 – ba2 – kapitola – bb2 = a3 + a2b + od2 – a2b – od2 – b3 =
= a3 – b3
Rozdiel štvrtých mocnin čísel
a4 – b4 = (a – b)×(a3 + a2b + od2 + b3) = (a + b)×(a3 – a2b + od2 – b3)
Suma n-tieto mocniny čísel (dla n nieparzystych!!!)
an + bn = (a + b) (an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1)
Rozdiel n-tieto mocniny čísel (dla n parzystych!!!)
an – bn = (a + b) (an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1)
Rozdiel n-tieto mocniny čísel (dla wszystkich n naturalnych)
an – bn = (a – b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + a2bn-3 + odn-2 + bn-1)