Vzorec pre skrátené násobenie

Vzorec pre skrátené násobenie

Najdôležitejšie skrátené vzorce pre násobenie.

Vzorce skráteného násobenia vám umožňujú vykonávať výpočty oveľa rýchlejšie.
Najčastejšie používané skrátené vzorce pre násobenie:

(a + b)2 = a2 + 2od + b2

(a - b)2 = a2 - 2od + b2

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2od + 2ac + 2pred n. l

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3od2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3od2 - b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 -od + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + od + b2)

 

Skrátené vzorce na násobenie sú užitočné na násobenie alebo rozširovanie algebraických výrazov. Uľahčujú efektívne počítanie. Tých vzorov je veľa. Uvádzame niektoré z nich nižšie, ktoré sa používajú najčastejšie.

Kwadrat sumy liczb

  • (a + b)2 = a2 + 2od + b2
    napr: 312 = (30+1)2 = 302+2× 30 + 1 = 900+60+1 = 961
  • nedochádza równość: (a+b)2 = a2 + b2
    napr 25 = (3+2)2 32 + 22 = 13
  • zdôvodnenie vzorca účtenkou:
    (a + b)2 = (a + b) × (a + b) =
    aa + od + ba + bb = a2 + 2od + b2

Kwadrat różnicy liczb

  • (a b)2 = a2 – 2od + b2
    napr: 292 = (30-1)2 = 302-2× 30 + 1 = 900-60+1 = 841
  • nedochádza równość: (a-b)2 = a2b2
    napr 1 = (3-2)2 32 – 22 = 5
  • odôvodnenie vzorca:
    (a – b)2 = (a – b) × (a – b) = aa od ba + bb = a2 – 2od + b2

     

Druhá mocnina súčtu troch čísel

  • (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2od + 2ac + 2pred n. l
    napr: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2× 100 × 10 + 2× 100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • nedochádza równość: (a + b+c)2 = a2 + b2 + c2
    napr 36 = (3+2+1)2 32 + 22 + 12 = 14
  • odôvodnenie vzorca:
    (a + b + c)2 = (a + b + c) × (a + b + c) = aa + od + ac + ba + bb + pred n. l + že + cb + cc = a2 + b2 + c2 + 2od + 2ac + 2pred n. l

Súčet súčtu a rozdielu čísel = Rozdiel druhých mocnín čísel

  • (a + b)×(ab) = a2 b2
    napr: 101× 99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999
  • odôvodnenie vzorca :
    (a + b) × (a – b) = aa od + ba bb = a2 b2

Kocka súčtu čísel

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3od2 + b3
    napr: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3× 1002 + 3× 100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • nedochádza równość: (a+b)3 = a3 + b3
    napr 125 = (3+2)3 33 + 23 = 35
  • zdôvodnenie vzorca účtenkou:
    (a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b)
    = (aa + od + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + obr + baa + kapitola + bba + bbb =
    = a3 + 3a2b + 3od2 + b3

Kocka rozdielu čísel

  • (a b)3 = a3 – 3a2b + 3od2 b3
    napr: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3× 1002 + 3× 100 – 1 =
    = 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299

Súčet kociek čísel

a3 + b3 = (a + b)×(a2 od + b2)

odôvodnenie vzorca:

(a + b)×(a2 od + b2) = aa2 aab + od2 + ba2 kapitola + bb2= a3a2b + od2 + a2bod2 + b3 =
= a3 + b3

Rozdiel kociek čísel

a3 b3 = (ab)×(a2 + od + b2)

odôvodnenie vzorca:

(ab)×(a2 + od + b2) = aa2 + aab + od2 ba2 kapitolabb2 = a3 + a2b + od2 a2bod2 b3 =
= a3b3

Rozdiel štvrtých mocnin čísel

a4 b4 = (ab)×(a3 + a2b + od2 + b3) = (a + b)×(a3a2b + od2b3)

 

Suma n-tieto mocniny čísel (dla n nieparzystych!!!)

an + bn = (a + b) (an-1an-2b + an-3b2 – … + bn-1)

 

Rozdiel n-tieto mocniny čísel (dla n parzystych!!!)

anbn = (a + b) (an-1an-2b + an-3b2 – … + bn-1)

 

Rozdiel n-tieto mocniny čísel (dla wszystkich n naturalnych)

anbn = (a b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + a2bn-3 + odn-2 + bn-1)