Zenov starodávny paradox v novej podobe

Presne o polnoci alebo poludní sú obe ručičky hodín viac ako hodinu 12. O hodinu neskôr sa hodinová ručička zastaví na čísle 1, a minútová ručička bude nad číslom 12. Keď minútová ručička dosiahne číslo 1, hodinová ručička sa posunie o 5/12 minútová promócia; keď minútová ručička dosiahla tento bod (po 5 i 5/12 min. od začiatku hodiny), hodinová ručička sa posunie opäť ďalej - týmto spôsobom môžete pokračovať navždy.

Takže vlastne minútová ručička, „V podstate” a „teoreticky“ - nemalo by to predbiehať alebo dokonca dohnať hodinovú ručičku!

Ako si vysvetliť tento paradox?

V tomto závode stôp, podobne ako Achillov závod s korytnačkou, celá vec je táto, že postupné posuny minútovej ruky poskytujú nekonečne sa zmenšujúci geometrický rad, menovite

tmp23de-1Prvý výraz tohto pokroku je a = 5, iloraz q = 1/12

Odkedy, Ako vieš, súčet nekonečne klesajúcej geometrickej rady je daný vzorcom
tmp23de-2tak o hodinu 1 minút 5 i 5/11 stopy sa v tento deň stretnú prvýkrát, rátajúc z juhu alebo zo severu.

Tu je však ešte jedno malé potvrdenie tohto argumentu: Povedzme, že minútová ručička dobehne hodinovú ručičku o x minút po hodine 1. Spôsob, ktorým počas tejto doby prejde hodinová ručička, sa samozrejme rovná x / 12. Roh, kto zakrúžkuje minútovú ruku”, je o 5 minút väčší ako uhol, ktorým prejde „hodina“. Preto

tmp23de-3