Zenos forntida paradox i en ny form

Punktligt vid midnatt eller middagstid är klockans båda händer mer än en timme 12. En timme senare stannar timvisaren på numret 1, och minutvisaren kommer över siffran 12. När minutvisaren når siffran 1, timvisaren kommer framåt 5/12 minut examen; när minutvisaren har nått denna punkt (efter 5 i 5/12 min. från början av timmen), timvisaren kommer att röra sig längre igen - du kan fortsätta på detta sätt för alltid.

Så faktiskt minutvisaren, "I grund och botten” och "teoretiskt" - det borde inte gå över eller ens komma ikapp med timvisaren!

Hur man förklarar denna paradox?

I den här loppet av ledtrådar, liknar Achilles lopp med sköldpaddan, det hela är det här, att successiva skift av minutvisaren ger en oändligt minskande geometrisk serie, nämligen

tmp23de-1Det första uttrycket för denna framsteg är a = 5, iloraz q = 1/12

Eftersom, Som du vet, summan av en oändligt minskande geometrisk serie ges av formeln
tmp23de-2så på en timme 1 minuter 5 i 5/11 ledtrådarna kommer att samlas för första gången denna dag, räknas från söder eller från norr.

Men här är ytterligare en liten bekräftelse på detta argument: Låt oss säga, att minutvisaren kommer ikapp med timvisaren i x minuter efter timmen 1. Sätt, som timvisaren kommer att passera under denna tid, är uppenbarligen lika med x / 12. Hörn, som kommer att ringa in minutvisaren”, är om 5 minuter större än vinkeln, som kommer att passera "timmen". Därav

tmp23de-3