Kvadrater med en kant

Kvadrater med en kant. De är rutor, som förblir magiska, även om vi kommer att subtrahera en eller flera av ramarna av rutor som löper längs de yttre raderna och kolumnerna. Den här konstruktionsmetoden kan tillämpas på alla rutor och ger ett stort antal variationer.

Ta till exempel en magisk kvadrat av sjätte ordningen och sätt ett mål, att torget har en kant, det betyder, så att den fjärde raden i den förblir magisk efter att ha tagit bort gränsen.

Vi kommer att ställa in 36 första siffrorna enligt följande:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Vi kommer att bygga en kvadrat av fjärde ordningen av alla åtta siffror på rad ett och åtta kompletterande nummer på rad två, t.ex:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

Vi får en kvadrat med en magisk summa 74. En kvadrat av den sjätte raden, som vi skulle bygga, den har en magisk summa, som vi redan vet: 111. Därav slutsatsen, det för varje kolumn, till varje rad och till varje diagonal ska vi lägga till två siffror, som totalt ger 37 = 111 - 74; men bara detta nummer 37 de anger numren på den första och andra raden ovan, när vi summerar dem parvis. Så vi tar siffrorna som står efter varandra 9 i 28, 10 i 27 och placera dem i hörnen på torget (6 X 6) så, att de på diagonalerna kompletterar varandra till 37. Vi vet det nu, att fyra tomma blanksteg i den första raden ska innehålla siffror, vilket totalt kommer att ge
111 - (9 + 10) = 92, i den första kolumnen ska summan av de infogade siffrorna vara 111 - (9 + 27) = 75.

Från siffror, som lämnas åt oss, nämligen:

11 12 13 14 15 16 17 18

26 25 24 23 22 21 20 19

för summan 92 vi hittar som komponenter, till exempel, siffror 26, 25, 23, 18. Låt oss placera dem i valfri ordning på första raden, och i sista raden - deras komplement. Bland resten av siffrorna väljer vi vidare fyra komponenter som ger summan 75, så 16, 20, 24, 15 och placera dem i den första kolumnen, och deras komplement - i den sista. Detta ger en magisk fyrkant med hela sjätte raden med en kant.
Det är ännu lättare att bygga en sådan kvadrat, när vi tar nej för att komponera det centrala torget 8 första och 8 de sista numren i serien, men de mellersta siffrorna:

11, 12, 18 i 19, …, 26.

Att bygga en kvadrat av den åttonde raden, vi gör exakt samma sak: vi bygger ett torg 4 X 4 och omge den med en kant; och efter att ha fått kvadraten 6X6 ramar vi in ​​den igen; vi kommer sedan till torget 8X8.

Samma metod kan användas för udda rutor. Om vi ​​till exempel vill. bygg en fyrkant 7 X 7 med gräns, sedan bygger vi en 3X3 fyrkant framåt, vi lägger till en gräns till den, vi får en fyrkant 5 X 5, och genom att lägga till en andra gräns kommer vi att få fyrtiofemfältet vi letar efter.