Aby oznaczyć krok linii, wystarczy wypisać dwa najbliższe sobie pola, przez środki których biegnie linia, więc na przykład (2,0) i (3,3).
Na podstawie tej numeracji możemy nie patrząc zgoła na rysunek wypisać dalszy szereg pól, przez środki których przejdzie linia …
Linie arytmetyczne
Zanim przystąpimy do omówienia kwadratów hipermagicznych, musimy podać nieco wiadomości o liniach arytmetycznych.
Przypatrzmy się uważnie następnej tabelce; składa się ona z 9 kwadratów dwudzięstopięciopolowych, w które wpisane są kolejno liczby od 0 do 24.
Zamiast 9 kwadratów …
Diagramy geometryczne kwadratów magicznych
Budowę każdego kwadratu magicznego zobrazować można za pomocą diagramów przedstawiających kolejne rozmieszczenie liczb po polach, przy czym niejednokrotnie wiążą się te linie w bardzo interesujące figury. Na rysunkach podajemy diagramy kwadratu 4X4, dwóch różnymi metodami zestawionych …
Kwadraty z krzyżami. Kwadraty z obramowaniem można łatwo przeistoczyć w kwadraty z krzyżem lub z czterema krzyżami. W tym celu na przykład dla kwadratu 6X6 rozbijamy kwadrat środkowy 4 X 4 na cztery kwadraty 2 X 2 i przenosimy je …
Kwadraty z obramowaniem. Są to kwadraty, które pozostają magiczne, chociaż odejmiemy jedno lub więcej z obramowań składających się z pól biegnących wzdłuż zewnętrznych rzędów i kolumn. Podany tu sposób budowy stosowany być może do wszelkich kwadratów i daje wielką ilość …
Metoda Arnoux stanowi niejiako przejście od zwykłych kwadratów magicznych do kwadratów o właściwościach szczególnych. Jest to bowiem, ściśle mówiąc, przepis na zestawienie kwadratów nieparzystych wyłącznie takich, w których liczba podziałek boku jest wielokrotnością trzech. Ale równocześnie daje ona w rezultacie …
Budowa kwadratów nieparzysto-parzystych
Jak już zaznaczyliśmy, najmniej istnieje przepisów dotyczących budowy tego typu kwadratów, a przy tym wszystkie metody są skomplikowane i trudne do zapamiętania. Przytaczamy tu względnie najłatwiejszą, której twórcą jest La Hire; ale i ona daleka jest od …
Budowa parzysto-parzystych kwadratów magicznych
I. Metoda La Hire’a. Powyżej przytoczona metoda z pewnymi modyfikacjami daje się zastosować do budowy kwadratów parzysto-parzystych. Pierwszy kwadrat pomocniczy wypełnia się wyrazami postępu 1, 2, 3, 4, ustawionymi w pierwszym wierszu w dowolnym porządku, z …
IV. Metoda La Louber’a. Pokażemy ją na kwadracie rzędu piątego. Zamiast piramidek dobudowuje się do kwadratu głównego cztery inne kwadraty tejże wielkości, przez co otrzymuje się figurę podaną obok.
W środkowym polu lewej kolumny wpisujemy 1 i idąc na ukos …
Budowa nieparzystych kwadratów magicznych
Różnych metod budowy kwadratów magicznych jest bardzo wiele. Wśród nich najwięcej jest przepisów na zestawianie kwadratów nieparzystych, najmniej dla kwadratów nieparzysto-parzystych. Przytoczone poniżej prawidła są względnie najłatwiejsze, a zarazem najciekawsze.
Podajemy ogólne tylko zarysy tych metod, …
